Verbesserung Bestimmen Sie im Fall der Konvergenz den Grenzwert der Folge (an)n€IN

Question

Bestimmen Sie im Fall der Konvergenz den Grenzwert der Folge (a_n)n∈ℕ1)

a_n=(3n²-1)/(n²+3)  -  (n(2n-2))/(n²+1)

hier habe ich selber  -4/3 raus , Stimmt das?

2)

a_n=( (1/2) +  (1/7n) )¹⁸

³⁾

^a_n+1=√8√8a_n mit dem Startwert a_i=10

hier brauche ich hilfe

die 8a_{n ist} unter der ersten wurzel

Comments

Hi für die erste Aufgabe siehe hier

https://www.mathelounge.de/393498/bestimmen-sie-fall-der-konvergenz-den-grenzwert-folge-n%E2%82%ACin#a393500

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a_n+1=√(8√(8a_n ))   mit dem Startwert a_i=10    So ?

dann ist es

a_n+1=√(8√8√(a_n ))  = √(8√8) √√(a_n ))    es ist monoton fallend

und nach unten beschränkt, hat also einen  Grenzwert g mit

g  =  √(8√8) √√g      alles hoch 4

g⁴ = 64*8 * g  g³ = 512   also   g = 8

Answer 1

a_n=(3n²-1)/(n²+3)  -  (n(2n-2))/(n²+1)

=(3n²-1)/(n²+3)  -  (2n²-2n))/(n²+1)

Der erste Bruch geht gegen 3 der zweite gegen 2 ,  also

Grenzwert = 1b) =( (1/2) +  (1/7n) )¹⁸

Das  n  ist  bei    (1/7n) wohl im Nenner ?

also  1 / ( 7n)  das geht dann gegen 0 und der
gesamte Grenzwert ist    ( 1/2 )^{18   .}

Answer 2

Hi bei Aufgabe 2 geht der zweite Summand gegen 0, also insgesamt gegen \( \left( \frac{1}{2} \right)^{18} \)

Bei Aufgabe 3 ist der Grenzwert die Lösung von \( x = 8\sqrt{x} \) also \( x = 64 \)