Eigentlich heißt eine nichtleere Menge H⊆G wobei (G, ·) eine Gruppe ist genau dann Untergruppe, wenn (H, ·) eine Gruppe ist, an sich ist das also nach Definition bereits wahr.
Also müsst ihr wohl eine alternative Definition der Untergruppe gelernt haben? Ich kenne noch eine weitere:
H ⊆ G heißt Untergruppe von (G, ·) genau dann, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:
I) a, b ∈H ⇒ a·b ∈ H
II) a ∈ H ⇒ a-1 ∈ H
Ausgehend von diesen beiden Bedingungen musst du nun also die Gruppeneigenschaften von (H, ·) herleiten.
Diese Eigenschaften sind:
Assoziativität, Existenz des Einselements und Existenz des Inversen
Die Existenz des Inversen folgt bereits durch (II) aus der Definition von H.
Assoziativität: Wähle beliebige a, b und c ∈ H. Wegen H⊆G gilt also auch a, b, c ∈ G. Da (G, ·) eine Gruppe ist, gilt also:
a·(b·c) = (a·b)·c ∀a, b, c ∈ H
Die Existenz des Einselements: Wichtiger als die Existenz ist hier, dass das Einselement in H liegt.
Wähle ein beliebiges a∈H, wegen (II) gilt dann auch a-1∈H. Weil H ⊆G gilt ferner a, a-1∈G. Nach der Definition des Inversen in G gilt außerdem:
a·a-1 = e
Wegen (I) gilt ferner e ∈H, also besitzt H ein Einselement. Da dieses in G eindeutig ist, ist es auch in H eindeutig.
(H, ·) ist also eine Gruppe.
