Analysis Grenzwert von an :=(1+1/n)^{1/n} neN

Question

Sei a_n := (1+1/n)ⁿ und b_n := (1+1/n)ⁿ⁺¹ , neN.

Wir wollen zeigen, dass beide Grenzwerte  existieren und gleich sind.

(Der gemeinsame Grenzwert ist die Eulersche Zahl e := 2; 7182 ...)

(a) Zeigen Sie, dass a_n streng monoton steigend und b_n streng monoton fallend ist.
(b) Zeigen Sie, dass a_n und b_n konvergieren und lim n->unendlich a_n = lim n->unendlich b_n.

Comments

Schau mal in der Wikipedia unter "Eulersche Zahl". Ich glaube, dass dort alles Nötige schon steht.

a_n := (1+1/n)ⁿ und 

b_n := (1+1/n)ⁿ⁺¹ = (1+1/n)*(1+1/n)^n ----^n->∞--> 1 * e    

Grund: Grenzwert eines Produkts ist Produkt der Grenzwerte   (falls beide existieren)

Monotonie kannst du so kontrollieren:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=(1%2B1%2F(n%2B1))%5E(n%2B1)+++-+(1%2B1%2Fn)%5E(n%2B1)+%3E+0

Rechnen (nicht nur zeichnen).