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Aufgabe:

Untersuchen Sie, ob folgende Vektoren \( \mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z} \) sich als Linearkombinationen von \( \mathbf{x}_{1} \) und \( \mathbf{x}_{2} \) im \( K \) - Vektorraum \( V \) darstellen lassen:

(a) \( V-\mathbb{R}^{3}, K-\mathbb{R} ; \mathbf{x}_{1}:-\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 5\end{array}\right), \mathbf{x}_{2}:-\left(\begin{array}{l}0 \\ 2 \\ 3\end{array}\right) ; \mathbf{x}:-\left(\begin{array}{c}3 \\ -2 \\ 12\end{array}\right), \mathbf{y}:-\left(\begin{array}{c}1 \\ -2 \\ 2\end{array}\right), \mathbf{z}:-\left(\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ 0\end{array}\right) \)

(b) \( V-\mathbb{C}^{3}, K-\mathbb{C} ; \mathbf{x}_{1}:-\left(\begin{array}{l}i \\ 1 \\ 0\end{array}\right), \mathbf{x}_{2}:-\left(\begin{array}{c}2+i \\ 0 \\ 3-i\end{array}\right) ; \mathbf{x}:-\left(\begin{array}{c}-2 \\ 1 \\ -6+i\end{array}\right), \mathbf{y}:-\left(\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ 1\end{array}\right), \mathbf{z}:-\left(\begin{array}{c}-1-2 i \\ 2 i \\ 1-3 i\end{array}\right) \)


Untersuchung der folgenden Vektoren, ob diese sich als Linearkombination darstellen lassen.

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Die Vektoren x, y und z lassen sich genau dann als Linearkombination von x1 und x2 darstellen, wenn die jeweiligen drei Vektoren linear abhängig sind. Das kannst Du prüfen, indem Du sie zu einer Matrix zusammen stellst und deren Determinante berechnest. Ist sie =0, dann sind sie linear abhängig.

Hast Du mehrere Vektoren zu prüfen so wie hier, ist es effizienter zunächst das Kreuzprodukt von x1 und x2 zu berechnen und das Ergebnis jeweils skalar mit x, y bzw. z zu multiplizieren.

Es ist $$ x_1 \times x_2 = \left( \begin{aligned} -10 \\ -3 \\ 2 \end{aligned} \right) $$

$$ (x_1 \times x_2) \cdot x = (x_1 \times x_2) \cdot \left( \begin{aligned} 3 \\ -2 \\ 12 \end{aligned} \right) = -30 + 6 +24 = 0$$ sind linear abhängig, also kannst Du x als Linearkombination von x1 und x2 darstellen. Bei den anderen Vektoren geht es genauso.

Gruß Werner

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