Ebenen Lagebeziehungen. Ebene E: 2x + y + z = 4, Gerade g in Parameterform

Question

stimmt das?                                                          

Answer 1

Hallo Probe,

r und S sind richtig

wenn aber g und e "echt parallel"  wären, hätten sie keinen Schnittpunkt.

Außerdem gilt für das Skalarprodukt des Richtungsvektors [2,6,2]  von g mit dem Normalenvektor  [2,1,1] von E:

[2,6,2] * [2,1,1] = 12 ≠ 0 

 Bei g || E müsste aber  RV ⊥ NV  - also Skalarprodukt = 0 - gelten.

Gruß Wolfgang

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Darf man das auch so begründen:

2x+y+z=4
2*(-1+2r)+6r+2r=4
r=4
46=4
r=5
58=4
?

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> 2*(-1+2r)+6r+2r=4   r=4     ist nicht richtig:

-2 + 4r + 6r + 2r = 4

→  12r = 6 → r = 1/2  ≠ 4   (wie gehabt :-)

Was willst du also damit begründen, außer dass es einen Schnittpunkt gibt?

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Ist es dann identisch oder auch nicht?

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Eine Gerade und eine Ebene können nicht identisch sein.

Die Gerade könnte allerdings vollständig in der Ebene liegen. Dann ergäbe

> 2 * (-1+2r) + 6r + 2r = 4 

     4 = 4     , was ja nicht der Fall ist.

Deshalb gibt es genau einen gemeinsamen Punkt:  S(0|3|1)

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1.)
Man darf das also immer begründen, dass wenn ein Schnittpunkt vorhanden ist, g und E nicht echt parallel sind. ?

2.) Aber wenn ein Schnittpunkt vorhanden ist, kann die Gerade vollständig in der Ebene liegen?

Aber dann gibt es doch unendlich viele Schnittpuntke oder nicht?

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1) ja

2)

Wenn die Gerade in der Ebene liegt (unendlich viele gemeinsame Punkte, die man dann aber nicht Schnittpunkte nennt) , ergibt sich bei der Ansatzgleichung kein eindeutiger Schnittpunkt  (r = 1/2)  sondern eine allgemeingültige Gleichung (z.B. 4 = 4)

Wenn die Gerade echt parallel zur Ebene ist, kommt so etwas wie " 7 = 4" heraus .

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Das was ich vorhin meinte mit

2x+y+z=4
2*(-1+2r)+6r+2r=4
r=4
46=4
r=5
58=4
?

ist, dass immer, wenn man einen anderen Wert für r nimmt, ein anderer Wer rauskommt.

--->d.h. nicht echt parallel

Wenn g und E echt parallel sind, bleibt die linke Seite immer gleich egal welche Zahl man für r einsetzt z.B.:

8=4 --> r=10

8=4-->r=20

Ist nur ein Beispiel

Verstehst du was ich meine, kannst du das auch bestätigen...

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58=4 

ist, dass immer, wenn man einen anderen Wert für r nimmt, ein anderer Wer rauskommt.

---> d.h. nicht echt parallel 

Umgekehrt:

Genau dann, wenn bei  2*(-1+2r)+6r+2r=4   so etwas wie " 58 = 4" herauskäme, wären g und E echt parallel.

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Das ist mir klar. Ich meine eigentlich was anderes.

Ein anderes Beispiel:



1. Lage von g1 zu E:
Koordinaten von g1:
x=2+r
y=3+r
z=1-r
Einsetzen in die Gleichung von E:
x+2y+3z=9
(2+r)+2(3+r)+3(1-r)=9
egal welchen Wert wir für r einsetzen es kommt immer heraus:
11=9
-->echt parallel

Unser Beispiel:
2x+y+z=4
2*(-1+2r)+6r+2r=4
Setzen wir r=4 ein, erhalten wir:
46=4
Setzen wir r=5 ein, erhalten wir:
58=4
das heißt verändern wir r, verändert sich die linke Seite....
also nicht echt parallel

Verstehst du was ich meine.. ich weiß aber nicht ob diese Vermutung immer zutrifft.
Das meinte ich vorhin....

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> egal welchen Wert wir für r einsetzen es kommt immer heraus: 

  11=9   oder etwas ähnlich falsches   -> echt parallel würde stimmen. #################### Aber das nützt ja nichts. Man kann ja nicht die unendlich vielen möglichen Werte für r ausprobieren.

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Naja einige Werte reichen doch eigentlich?

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Nein: Wenn es einen Schnittpunkt gibt, gibt es genau einen richtigen Wert für r.

Alle anderen Werte für r ergeben dann eine solche falsche Gleichung!

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Ja genau.
Ich glaube du weißt nicht was ich meine.
Ist aber egal.
Du hast mir geholfen und die Aufgabe ist erledigt .. :)

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Stell mir mal bitte eine ähnliche Aufgabe...

Answer 2

deine ersten beiden Lösungen sind richtig. Die dritte Aussage, dass g und E echt parallel seien, ist falsch, da sie ja einen gemeinsamen Durchstoßpunkt besitzen.

LG

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