Sei (G,∗) eine endliche Gruppe... Zeigen dass g^k = n.

Question

könnt ihr mir die diese Übung am folgenden Beispiel zeigen: 
$$Sei\quad (G,∗)\quad eine\quad Gruppe\quad mit\quad neutralem\quad Element\quad n.\quad Zeigen\quad Sie:\\ Ist\quad G\quad endlich,\quad so\quad gibt\quad es\quad für\quad jedes\quad g∈G\quad ein\quad k∈N∗,\quad sodass\quad gilt:{ g }^{ k }=n.$$

Answer 1

Betrachte für alle k aus IN^* die Folge  a_n = gⁿ  .

Da G endlich ist, und alle a_n Elemente von G sind, muss irgendwann ein

Wert auftauchen, den es vorher in der Folge schon einmal gab, es gibt also

verschiedene n und k aus  IN^* mit    a_n  =  a_k      also    gⁿ  = g^k 

Da n und k verschieden sind, ist z.B.  n>k also  n= k+x  mit x>0.

Dann hat man   g^k+x  = g^k      also 

           g^k   *    g^x  = g^k       und damit ist    g^x  das neutrale El. von G