Exponentialgleichung 7^{2x-1} + 7^2x + 7^{2x+1} = 5^{2x-1} + 5^2x + 5^{2x+1} | Studium

Question

es geht um folgende Gleichung:

7^2x-1 + 7^2x + 7^2x+1 = 5^2x-1 + 5^2x + 5^2x+1

Wir haben in Analysis jetzt Exponentialgleichungen, habe im Netz mir dazu auch bereits Aufgaben angeschaut aber habe nie eine Vergleichbare gefunden wie diese.

Mir geht es auch nicht darum hier direkt die Lösung zu bekommen sondern ich würde gerne Wissen welches Wissen man besitzen muss um dieses Aufgabe zu lösen. Exponentenvergleich fällt ja weg da es nicht diesselbe Basis ist?

Bzw. mir fehlt ein allgemeines Vorgehen.

eine weitere Aufgabe wäre 3^x + 4^x = 5^x

Auch hier ist mir das Vorgehen nicht klar um diese Gleichung lösen zu können.

Über einzelne Schritte zum Lösen würde ich mich freuen.

MfG

Answer 1

7^2x-1 + 7^2x + 7^2x+1 = 5^2x-1 + 5^2x + 5^2x+1

1/7 *7^2x +1*  7^2x + 7* 7^2x = 1/5 * 5^2x + 1* 5^2x + 5* 5^2x

(1/7  +1 + 7) 7^2x = (1/5  + 1 + 5 )  5^2x

(1/7 + 1 + 7)/(1/5 + 1 + 5) = (5/7)^2x    

2x = log((1/7 + 1 + 7)/(1/5 + 1 + 5)) / log(5/7)    

x = 0.5 log((1/7 + 1 + 7)/(1/5 + 1 + 5)) / log(5/7)

Nun wenn nötig noch etwas vereinfachen. Aber erst mal nachrechnen. 

Answer 2

Hi, bei der ersten Gleichung könnte man links \(7^{2x}\) und rechts \(5^{2x}\) ausklammern. Dann kann man die Faktoren mit \(x\) nach links und die anderen nach rechts bringen usw.

Answer 3

Potenzgesetze erlauben folgene Umformung 7^2x/7+7^2x+7·7^2x=5^2x/5+5^2x+5·5^2x auf beiden Seiten ausklammern: 7^2x(1/7+1+7)=5^2x(1/5+1+5) und nach etwas Bruchrechnung 57/7·7^2x=31/5·5^2x und dann (7/5)^2x=(31·7)/(5·57) oder 1,4^2x=0,7614 bzw. 2x=log0,7614/log1,4 und ein bisschen weiter bis x≈-0,4.

Answer 4

7^2x-1 + 7^2x + 7^2x+1 = 5^2x-1 + 5^2x + 5^2x+1

^{Es werden Potenzgesetze und Log. gesetze benötigt. u.a}

^{a^{m} *a^{n}= a^{m+n}}

3^x + 4^x = 5^{x}

->Rechenweg sehe ich hier nicht , die Lösung kann man Raten, die ist 2

Möglich das es mit dem Newtonschen Näherungsverfahren funktioniert ?