Löse die DGL für t∈[0,1), t∈[1,2) bei z.B. Wirkstoffzufuhr.

Question

bin mit der Aufgabe etwas überfordert, kann mir jemand erklären was ich hier machen muss und wie ich das machen kann?

Wirkstoffspiegel x(t). Der Wirkstoff wird zu jeder 2. Stunde eine Stunde lang verabreicht. DGL:

dx/dt = -ax+b(t), wobei b(t)=0, wenn t ungerade und b(t)=1, wenn t gerade ist.

Was ich bisher sagen kann:

Das ist eine inhomogene DGL wg. b(t), der Verlauf in ungeraden Stunden verläuft exp. fallend, bei Wirkstoffzufuhr exp. steigend, dann wieder fallend u.s.w. Sicherllich wird sich dann ein Gleichgewicht einstellen.

.. und wie löse ich das für t∈[0,1), t∈[1,2)?

Answer 1

b(t)=0$$ \frac{dx}{dt} = -ax $$
$$ \frac 1x \, \frac{dx}{dt} = -a \quad \vert \quad \int \cdots dt $$
$$ \ln x \,  = -at +C^* \quad  \vert \quad e^{\cdots}  $$
$$ x   = e^{-at} \cdot C  $$
---b(t)=1
$$ y_H   = e^{-at} \cdot C  $$
---
$$ y_P   = e^{-at} \cdot C(t)  $$
$$ y'_P   = - a \, e^{-at} \cdot C(t)  +  e^{-at}  \cdot  C'(t) $$
$$  y'_P= -a \cdot y_P +1$$
$$ - a \, e^{-at} \cdot C(t)+ \, e^{-at}\cdot C'(t) = -a \cdot e^{-at} \cdot C(t) +1$$
$$ \, e^{-at}\cdot C'(t) = 1$$
$$  C'(t) = \, e^{at}$$
$$  C(t) = \frac 1a \, e^{at}$$
$$ y_P   = e^{-at} \cdot \frac 1a  \, e^{at}  $$
$$ y_P   = \frac 1a $$

---
$$y(t)=y_H +y_P$$
$$y(t)=e^{-at} \cdot C +\frac 1a $$