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Aufgabe:

Betrachten Sie das Intervall I=[0,2] und für n∈ℕ die Funktion fn (t)=tn , t∈[0,1) und fn (t)= 1 für t∈[1,2]

(i) Berechnen Sie ||fn||p für p∈[1,∞], n∈ℕ

(ii) Zeigen Sie, dass (fn)n ⊂ C(I) eine Cauchy-Folge ist bzgl. der Norm ||•||p , p∈[1,∞). Folgern Sie, dass C(I) bzgl. ||•||p , p∈[1,∞) kein Banachraum ist.

(iii) Bzgl. der Norm ||•||ist C(I) ein Banachraum (dies ist nicht zu zeigen). Warum ist die Folge (fn)n ⊂ C(I) hierfür kein Gegenbeispiel.

Problem/Ansatz:

Mit den Definitionen von Norm, Cauchy-Folge, usw. bin ich vertraut, jedoch weiß ich nicht wie ich dies anwenden soll.

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