f: R³ → R4 , (x1,x2,x3)T ↦ (x1-x2+x3 ,0, x2, x1+x3)T
Bestimmen Sie ggf. den Kern sowie das Bild der linearen Abbildung. ist f Injektiv bzw. surjektiv?
Um ehrlich zu sein weiß ich nicht was ich hier machen muss.
Ich weiß was mit Kern und Bild gemeint ist, kann es aber diese Aufgabe nicht anwenden.
Ich weiß auch nicht wie man zeigen kann, ob die Abbildung linear ist oder nicht.
Dazu bildest du für zwei Vektoren , (x1,x2,x3)T und , (y1,y2,y3)T
f ( (x1+x2,x2+y2,x3+y3)T
=( (x1+x2,)-(x2+y2)+(x3+y3) , 0 , ...... )T
und vergleichst das mit f((x1,x2,x3)T )+ f((y1,y2,y3))T
Du wirst sehen, dass beides gleich ist, also ist die Abb. schon mal
additiv. Dann entsprechend f( k* (x1,x2,x3)T ) mit k* f( (x1,x2,x3)T )
vergleichen, das passt auch, also f linear .
Für den Kern machst du den Ansatz f((x1,x2,x3)T ) = ( 0;0;0;0)
Das gibt ein lin. Gl.syst. mit der Lösungsmenge aller Vektoren der Form
( -t ; 0 ; t ) also enthält der Kern mehr als nur die 0, also nicht Injektiv.
Nach dim(Bild) + dim(Kern) = dim(V)
dim(Bild) + 1 = 3
dim(Bild) = 2 < dim ( IR4 )
also auch nicht surjektiv.
