0 Daumen
2,7k Aufrufe

Aufgabe:

Bestimmen Sie alle komplexen Lösungen \( z \) der folgenden Gleichungen:
$$ (z-3 i)^{6}+64=0, \quad z^{2}-z+i z-i=0 $$ Also ich habe jetzt das erste soweit gemacht, und weiß nicht mehr wie weiter... Kann mir bitte jemand das erklären?

Bild Mathematik

Avatar von

2 Antworten

0 Daumen
 
Beste Antwort

Du rechnest zu viel:

z ist nur einmal in der Gleichung vorhanden. Du kannst daher die Gleichung nach z auflösen:

(z-3i)^6 + 64= 0, 

(z-3i)^6 = - 64 

(z-3i)^6 = 64* e^{iπ}       | alle 6. Wurzeln dieser Zahl bestimmen. 

z-3i = ⁶√(64) * e^ (iπ/6  + (2πk)/6 * i)

z = 3i + 2 * e^ (iπ/6  + (2πk)/6 * i)   , k€Z oder k= 0,1,2,3,4,5 je nach exakter Fragestellung 

Den blauen Teil kannst du noch in kartesische Form umschreiben .

Bsp. https://www.mathelounge.de/208920/berechnen-sie-alle-komplexen-zahlen-z-fur-die-gilt-bsp-z-3i-64

Avatar von 162 k 🚀
Könntest du mir noch bitte mit der 2.Gleichung helfen?

Da habe ich trotzdem noch eine Frage, also ist -1=e , richtig?

-1=eiπ  

Ja. Das stimmt so. 

+2 Daumen

Aufgabe 2)

ohne PQ-Formel geht es auch , wenn man sieht:

(z-1)(z+i)=0


                                  

Bild Mathematik

Avatar von 121 k 🚀

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community