+2 Daumen
180 Aufrufe

Sei M eine Menge, K ein Körper und V = Abb(M, K) der Vektorraum aller Abbildungen von M nach K. Für jedes m ∈ M definieren wir die Abbildung

δm ∈ V durch

δm(x) = 0, falls m≠x und  δm(x) =1, falls m = x

Zeigen Sie, dass {δm | m ∈ M} eine linear unabhängige Menge in V ist und

eine Basis genau dann, wenn M endlich ist.

EDIT(Lu): Korrekturen gemäss Kommentaren 1 bis 3 gemacht.

von

Du meinst

δm(x) = 0, falls m≠x und  δm(x) =1, falls m = x  " ?

Und es muss heißen \( \delta m \) statt \( \delta M \), richtig?

Ja, das stimmt...

Hat jemand eine Idee? Ich Sitz da schon ewig dran und komme nicht weiter

1 Antwort

+2 Daumen

Sei Δ := {δm | m ∈ M}

Ist n ∈ M, dann ist (∑a∈Δ\{δn}ka·a)(n) = 0 aber δn(n) = 1 für alle ka ∈ K.

Ist M endlich, dann ist f = (∑m∈Mf(m)·δm) für jedes f:M→K.

Ist M unendlich, dann ist f: x↦1 ≠ ∑a∈Nka·a für jede endliche Teilmenge N von M und alle ka ∈ K.

von 41 k  –  ❤ Bedanken per Paypal
Und damit ist alles bewiesen? Vielen lieben Dank!!!

Es fehlt noch die Minimalität des Erzeugendensystems.

Die vorletzte Aussage ist zudem nicht plausibel. Wie kann \( f(a) \) ausgewertet werden, wenn \( f : M \rightarrow K \) ist und \( a \in \Delta \) mit \( a : M \rightarrow K \) ist?

Ist mit \( f(a) \) der Koeffizient von \( a \) für die Darstellung von \( f \) gemeint?

> Die vorletzte Aussage ist zudem nicht plausibel.

Danke, habe ich korrigiert.

> Es fehlt noch die Minimalität des Erzeugendensystems.

Lineare Unabhängigkeit genügt.

Lineare Unabhängigkeit allein genügt auch nicht. In diesem Fall muss die Maximalität gezeigt werden.

Maximalität muss nicht gezeigt werden. Es genügt, wenn gezeigt wird, dass jede Funktion als Linearkombination der vermeintlichen Basis dargestellt werden kann. Dazu ist Zeile 3 gedacht.

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage sofort und kostenfrei

x
Made by a lovely community
...