Stückweise stetige Funktionen haben so in kompaktem Intervall nur endlich viele Unstetigkeitstellen.

Question

Aufgabe:

Sei \( I \subset \mathbb{R} \) ein Intervall. Eine Funktion \( f: I \rightarrow \mathbb{R} \) heißt stückweise stetig, wenn es zu jedem \( a \in I \) ein \( \delta>0 \) gibt, so dass die Einschränkungen

\( \left.f\right|_{I \cap(a-\delta, a)}: I \cap(a-\delta, a) \rightarrow \mathbb{R} \quad \text { und }\left.\quad f\right|_{I \cap(a, a+\delta)}: I \cap(a, a+\delta) \rightarrow \mathbb{R} \)

stetig sind und die Grenzwerte \( \lim \limits_{x} \nearrow_{a} f(x) \in \mathbb{R} \) und \( \lim \limits_{x} \searrow a f(x) \in \mathbb{R}, \) soweit sinnvoll, existieren (sie brauchen aber weder miteinander noch mit \( f(a) \) übereinzustimmen).

Zeigen Sie, dass jede auf einem kompakten Intervall definierte, stückweise stetige Funktion nur endlich viele Stellen hat, an denen sie unstetig ist.

Answer 1

   Angenommen die Punktmenge F , auf der für Funktion unstetig ist, wäre unendlich. In einer kompakten Menge K besitzt jede unendliche Teilmenge F einen Häufungspunkt h € K .

    Häufungspunkt bedeutet, dass jede E-Umgebung von h noch unendlich viele Elemente von F enthält im Widerspruch zu der Behauptung, f ( x ) sei stetig auf genügend kleinen ( Halb)Intervallen.