Wachstum einer Population P(t) mit dP/dt = p(P) P, P(0) = P_(0) als Anfangswertproblem

Question

Könnt ihr mir helfen?  Danke schön

Answer 1

Hi,
zu (a), die rechte Seite ist stetig differenzierbar und damit lipschitzstetig (Mittelwertsatz der Differentialrechnung)

zu (b)
Die Dgl. lautet ja
$$\dot P(t) = \rho(P(t) \cdot P(t)$$ daraus folgt
$$\frac {dP(t)}{P(t)} = \rho(P(t)\ dt$$ Daraus folgt durch Integration über t
$$\ln(P(t) = \int_0^t \rho(P(t)\ dt + C$$
Damit gilt
$$P(t) = e^{\int_0^t \rho(P(t)\ dt + C} \ge 0$$

Zu (c)
Die Gleichung lautet nun mit dem speziellen $\rho(P) = r - aP$
$$\dot P(t) = (r-a \cdot P(t) \cdot P(t)$$ Die Gleichung kann man durch Trennung der Variablen lösen, s. z.B. https://de.wikipedia.org/wiki/Logistische_Funktion
Als Ergerbnis erhält man
$$\ln(P) - \ln(r-aP) = r \cdot (t+C)$$ D.h.
$$\frac{P}{r - aP} = e^{r(t+C)}$$ und daraus
$$P(t) = \frac{r}{a+e^{-rt}\left( \frac{r}{P_0}-a \right)}$$