Gegeben ist die reelle Funktion f(x)= x^2 /12 +x/3 . Berechnen Nullstellen, Extremwerte etc.

Question

Gegeben ist die reelle Funktion f(x) = x²/12 +x/3 . Von einer zweiten Funktion dritten Grades kennt man die zweite Ableitung g ' ' (x) =3x-6, die Nullstelle N (0/0) und den Wendepunkt W(2/1)

 

a.) Zeige, dass die Funktionsgleichung von g: y= 0,5x^3 - 3x^2 +4,5x lautet.

b.) Diskutiere beide Funktionen ( Nullstellen, Extremwerte und Wendepunkte samt Wendetangente) und zeichne ihren Graphen

 

Ich habe so begonnen die f(x) Funktion habe ich / *3 * 12 somit erhalte ich

f(x)=3x²+12x=0 diese nochmal / 3

= f(x)= x²+4x=0  ( x herausgehaben)

meine Nullstellen sind für x 0 und -4

g** (x) muss ich nun wieder integrieren um g* und g (x) zu erhalten oder?!?!

 

LIEBE GRÜßE

Comments

Meinst du bei a) die folgende Funktion:

g: y= 0,5x^3 -3x^2 +3,5x

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statt 3,5x gehört 4,5x

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Aha! Das hab ich unten gerade noch berechnet. Ich redigiere jetzt mal die Fragestellung.

Answer 1

Ich arbeite mal mit den vermuteten Exponenten:

g: y= 0,5x^3 -3x^2+3,5x

y' = 1.5x^2 - 6x + 3.5

y' '  = 3x - 6             2. Ableitung stimmt.

Wendepunkt?

y' ' = 3x-6=0 ---> x = 2

 g(2) = 0,5*2^3 -3*2^2+3,5*2 = 4 - 12 + 7 = -1. Daher W(2|-1) . Stimmt also nicht ganz!

g(0) = 0,5*0 -3*0+3,5*0 = 0.  Daher N(0|0). Stimmt wieder.

Nun die richtige Funktion:

g: y= 0,5x^3 -3x^2+4,5x

y' = 1.5x^2 - 6x + 4.5

y' '  = 3x - 6             2. Ableitung stimmt.

Wendepunkt?

y' ' = 3x-6=0 ---> x = 2

 g(2) = 0,5*2^3 -3*2^2+4,5*2 = 4 - 12 + 9 = -1. Daher W(2|1) . Stimmt!

g(0) = 0,5*0 -3*0+4,5*0 = 0.  Daher N(0|0). Stimmt !.

g** (x) muss ich nun wieder integrieren um g* und g (x) zu erhalten oder?!?

Gemäss Aufgabenstellung musst du nur zeigen, dass die angegebene Funktion stimmt. Du kannst also durchaus einfach das Resultat ableiten und alle gesuchten Eigenschaften prüfen, wie ich das eben gemacht habe.

Nur stimmte ja irgendetwas in der Fragestellung nicht. Deshalb hier die Berechnung der Funktionsgleichung aus den gegebenen Eigenschaften.

y' ' = 3x - 6

y' = 1.5x^2 - 6x + C

y = 0.5x^3 - 3x^2 + Cx + D

Wegen N(0,0) ist sicher D = 0

Wenn nun W(2|1) sein muss, kommst du auf

1 = 0.5*8 - 3*4 + 2C

1 = 4 - 12 + 2C

9 = 2C

C = 4.5

Damit wäre g richtig: y = 0.5x^3 - 3x^2 + 4.5x

Ich nehme an, dass du jetzt den Rest selbst noch machen kannst.

Comments

Ich habe so begonnen die f(x) Funktion habe ich / *3 * 12 somit erhalte ich

f(x)=3x²+12x=0 diese nochmal / 3

= f(x)= x²+4x=0  ( x herausgehaben)

meine Nullstellen sind für x 0 und -4

Nullstellen von f?

 x²/12 +x/3 = 0       |*12

x^2 + 4x = 0   |x ausklammern

x(x + 4) = 0

x1 = 0 und x2 = -4. Deine Nullstellen sind ok.

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für den y wert muss ich meine nullstellen in die f(x) Gleichung einfügen ?

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Der y-Wert der Nullstellen muss immer 0 sein. Deshalb heissen die Stellen auch Nullstellen.

Aber als Probe schadet es nicht, wenn du sie noch in f(x) einsetzt.

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wie berechne ich von der g(x) Funktion die nullstellen ?

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Eine N1(0/0) hast du ja schon. Du kannst x ausklammern und dann mit Hilfe der Formel für quadratische Gleichungen die andern 2 (maximal) berechnen.

g: y= 0,5x³ -3x²+4,5x = 0

x(0.5x^2 - 3x + 4.5) = 0

0.5x^2 - 3x + 4.5 = 0      |*2

x^2 - 6x + 9 = 0           |ist sogar ein Binom!

(x-3)^2 = 0

Doppelte Nullstelle bei N2(3|0)

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die kleine Lösungsformel muss ich nun anwenden oder?

 

x²-6x+9= 0

3+-9-9= x1,2=+3 und -3 ??

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die Extremstellen sind 1 und 3 für x jeweils

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die kleine Lösungsformel muss ich nun richtig anwenden oder Binom erkennen?

x²-6x+9= 0

3+-√(9-9)= x2,3

x2,3=+3 ±0 = 3

x1 = 0 hast du ja schon. Nochmals hinschreiben bei der vollständigen Lösung.

N1(0|0), N2,3(3|0)

die Extremstellen sind 1 und 3 für x jeweils: richtig!

Da schreibt man x1=1 und x2=3.

Einsetzen in  y = 0.5x³ - 3x² + 4.5x

P1(1|2) ist lokales Maximum , P2(3|0) ist lokales Minimum.

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habe ich 2 oder 3 nullstellen die eine ist N1 (0/0) N2 (3/0)

wie lauten denn die Nullstellen bei f (x) x²/12+x/3 ich habe mal 3 und mal 12 gerechnet um den Bruch aufzulösen dann anschließend durch 3

= x²+4x=0

x=0, x= -4

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Ich muss beide Funktionen durch diskutieren woher weiß ich nochmal wann ein MAximum und wann es sich um ein Minimum handelt ??

Bei der Fläche sollte 8 herauskommen

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habe ich 2 oder 3 nullstellen die eine ist N1 (0/0) N2 (3/0)?

3 ist eine sogenannte doppelte Nullstelle. Es ist lehrbuchabhängig, ob man die als 1 oder 2 Nullstellen zählt. Wenn man eine doppelte Nullstelle hat, weiss man automatisch, dass man eine relative Extremalstelle hat.

wie lauten denn die Nullstellen bei f (x) = x²/12+x/3 ich habe mal 3 und mal 12 gerechnet um den Bruch aufzulösen dann anschließend durch 3

x^2/12 + x/3 =0  |*12

 x²+4x=0

x=0, x= -4

Das hab ich dir doch gestern schon vorgerechnet. 1 mal mal 12 genügt.

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okay danke

ist die Extremstelle bei (-2/ -4)

ist die zweite Ableitung von f** (x) =2 wie berechne ich dann die Wendestelle und wendetangente?

liegt keine vor?

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Ein Minimum hast du wenn die 2. Ableitung > 0 ist und ein Maximum wenn die 2. Ableitung < 0 ist.

Aber eigentlich finde ich es sinnvoller über den Ferlauf des Graphen zu argumentieren

f(x) = x²/12 +x/3

f(x) ist eine nach oben geöffnete Parabel. Dort erwarten wir ein Minimum und nichts anderes.

g: y= 0,5x³ - 3x² +4,5x

g(x) ist eine Funktion 3. Grades und kann 2 Extrema haben. Anhand des grundsätzlichen Verlaufes erkennt man das das Extrema mit der Höheren x Koordinate das Minimum sein muss.

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ist die Extremstelle bei (-2/ -4)?

Extremalstelle ist x = -2. Liegt bei Parabeln immer genau zwischen den Nullstellen.

Einsetzen in 

f(x) = x²/12 + x/3 = (-2)^2 /12 + (-2)/3 = -4/12 - 2/3 = -1/3 - 2/3 = -1.

Lokales Minimum bei P(-2|-1).

Dass es sich um ein lokales Minimum handelt, weisst du, da der Koeffiuzient von x^2 also 1/12 > 0 ist und die Parabel nach oben geöffnet ist.

woher weiß ich nochmal wann ein MAximum und wann es sich um ein Minimum handelt ??

Da g(x) ein Polynom 3. Grades ist, weisst du, wenn du 2 Stellen hast mit horizontaler Tangente, ist eines ein rel. Max. und das andere ein rel. Min. Man kann einfach die y-Werte berechnen und weiss, dass die mit dem grösseren y-Wert die rel. Maximalstelle ist.

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ist -4 also falsch??

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aus dieser Zeichnung verstehe ich leider nichts

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ist -4 also falsch?? Als y-Wert der Extremalstelle der Parabel:

Ja. Falsch. Meine Rechnung vgl. oben.