Krümmungsverhalten und Wendepunkte bei einer Funktion

Question

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Ich beschäftige mich im Moment mit dem Krümmungsverhalten. Ich weiß, dass die zweite Ableitung dabei die Krümmung bestimmt. Außerdem ist mir klar das die Funktion rehtsgekrümmt ist, wenn sie streng monoton fallend ist, und linksgekrümmt, wenn sie streng monoton steigend ist.

Doch jetzt stehe ich vor dieser Aufgabe und weiß nicht weiter:

Bestimmen Sie das Krümmungsverhalten der Funktion f rechnerisch und geben Sie an, wo die Wendepunkte an.

f ( x ) = x³ + 3x² + 2

Ich würde mich sehr über Hilfe freuen und ich freue mich auf jede Antwort !

Comments

Außerdem ist mir klar, dass die Funktion rechtsgekrümmt ist, wenn sie streng monoton fallend ist, und linksgekrümmt, wenn sie streng monoton steigend ist.

Darüber solltest du noch mal nachdenken!

Answer 1

Wendepunkte und Krümmung 

f "(x) = 0  ergibt die möglichen Wendestellen x_w

f '''(x_w) ≠ 0  → W ,  bei f '''(x_w) = 0 kann man den VZW von f " an der Stelle x_w  prüfen.

Die Krümmungsintervalle erhält man aus den Bedingungen  

f "(x) >0 → Links- , f "(x) < 0 → Rechtskrümmung

f ( x ) = x³ + 3x² + 2

f '(x) = 3x² + 6x

f "(x) = 6x

f '''(x) = 6  

f "(x) = 6x = 0  ⇔  x = 0

Wendepunkt W(0|2)     da f'''(0) ≠ 0  und f(0) = 2

Vorzeichentabelle von f ":

x           - ∞                     0                       ∞

f "(x)                  -            0            +

f(x)                   RK         W           LK

f(x) ist in ] - ∞ ; 2 ]  rechtsgekrümmt und in   [ 2 ; ∞ [  linksgekrümmt

Gruß Wolfgang