Stellen mit waagerechter und senkrechter Tangente berechnen

Question

gegeben ist ein Kurvenverlauf durch folgende Parameterdarstellung:

x=(3(t^2-1))/(1+t^2) und y=(2t(t^2-1))/(1+t^2) ; t  ist Element der Reellen Zahlen

Berechnen Sie die Stellen mit Waagerechter und senkrechter Tangente.

Answer 1

Ist die Steigung der Kurve waagerecht, so darf sich y nicht ändern, x jedoch schon. Mathematisch heißt das, dass \(\dot{x}\neq0\) und \(\dot{y}=0\) ist. Bei senkrechter Steigung ist es natürlich genau umgekehrt - hier muss gelten \(\dot{x}=0\) und \(\dot{y}\neq0\). In jedem Fall gilt es die Ableitungen nach t zu bestimmen: $$\dot{x}=\frac{12t}{(t^2+1)^2}$$ $$\dot{y}=\frac{2(t^4+4t^2-1)}{(t^2+1)^2}$$ Es ist offensichtlich, dass bei \(t=0\) eine senkrechte Steigung der Kurve vorliegt, da \(\dot{x}(0)=0\) und \(\dot{y}(0)\neq0\).

Den Wert für t der waagerechte Steigung erhält man aus der Nullstelle des Polynoms \(t^4+4t^2-1 \). Hier ist $$\dot{y}\left( t=\pm\sqrt{\sqrt{5}-2} \approx \pm 0,4859\right)=0$$

Tipp: mache eine Zeichnung der Kurve.

Gruß Werner