Stellen mit waagerechter und senkrechter Tangente berechnen

Question

gegeben ist ein Kurvenverlauf durch folgende Parameterdarstellung:

x=(3(t²-1))/(1+t²) und y=(2t(t²-1))/(1+t²) ; t  ist Element der Reellen Zahlen

Berechnen Sie die Stellen mit Waagerechter und senkrechter Tangente.

Answer 1

Ist die Steigung der Kurve waagerecht, so darf sich y nicht ändern, x jedoch schon. Mathematisch heißt das, dass $\dot{x}\neq0$ und $\dot{y}=0$ ist. Bei senkrechter Steigung ist es natürlich genau umgekehrt - hier muss gelten $\dot{x}=0$ und $\dot{y}\neq0$. In jedem Fall gilt es die Ableitungen nach t zu bestimmen: $$\dot{x}=\frac{12t}{(t^2+1)^2}$$ $$\dot{y}=\frac{2(t^4+4t^2-1)}{(t^2+1)^2}$$ Es ist offensichtlich, dass bei $t=0$ eine senkrechte Steigung der Kurve vorliegt, da $\dot{x}(0)=0$ und $\dot{y}(0)\neq0$.

Den Wert für t der waagerechte Steigung erhält man aus der Nullstelle des Polynoms $t^4+4t^2-1$. Hier ist $$\dot{y}\left( t=\pm\sqrt{\sqrt{5}-2} \approx \pm 0,4859\right)=0$$

Tipp: mache eine Zeichnung der Kurve.

Gruß Werner