Zeige, dass die Vektoren eine Orthonormalbasis des ℝ3 bilden...

Question

 
bitte mit rechenweg. Danke vorrab ;) 

Zeige, dass die Vektoren v₁=(1/√2, 0, 1/√2), v₂=(0, 1, 0),  v₃=(1/√2, 0, -1/√2) eine Orthonormalbasis des ℝ³ bilden. Stellen Sie den Vektor v=(1, 4, 5) als Linearkombination dieser Basisvektoren dar.Normiere den Vektor v anschließend bezüglich der euklidischen Norm, d.h. bestimme einen Vektor w ∈ ℝ³, sodass w = αv ,α ∈ R, mit ||w||₂ = 1 gilt. 

Comments

kann jemand vielleicht mit rechenschritten folgende aufgabe zeigen:Danke vorrab ;)

Zeige, dass die Vektoren v₁=(1/√2, 0, 1/√2), v₂=(0, 1, 0),  v₃=(1/√2, 0, -1/√2) eine eine Orthonormalbasis des ℝ³ bilden. Stellen Sie den Vektor v=(1, 4, 5) als Linearkombination dieser Basisvektoren dar.Normiere den Vektor v anschließend bezüglich der euklidischen Norm, d.h. bestimme einen Vektor w ∈ ℝ³, sodass w = αv ,α ∈ R, mit ||w||₂ = 1 gilt.

Answer 1

musst nur zeigen   v1*v2=v2*v3=v1*v3=0

etwa  (1/√2, 0, 1/√2)  * (0, 1, 0) = 0*1/√2 + 0*1 + 1/√2 * 0 = 0 etc.

und alle haben die Länge 1.etwa  || (1/√2, 0, 1/√2) || = √ ( 1/2  +  0  + 1/2 ) =  √ ( 1 )   =  1 

Dann Ansatz

x*v1 + y*v2+ z*v3  =(1, 4, 5)und x,y,z mit lin. Gl.system ausrechnen

Comments

habe x,y,z mit lin. Gl.system ausgerechnet... und nun?

hab eigentlich gehofft, das jemand  mit rechenschritten mir dieses beispiel zeigt so dass ich den gesamtzusammenhan verstehe...

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Die Aufgabe besteht aus mehreren Teilen. Welcher Teil ist unklar?

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Zunächst mal besteht deine Aufgabe aus drei einzelnen Aufgaben. Du solltest, damit man dir möglichst gut helfen kann erklären was du kannst und was du nicht kannst. mathef hat sehr gut erklärt wie die jeweiligen Dinge zu berechnen sind. Es liegt jaetzt an dir das zu tun und wenn du nicht weiter weißt exakt zu sagen wobei du Probleme hast.

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den letzten teil verstehe ich nicht: Normiere den Vektor v anschließend bezüglich der euklidischen Norm, d.h. bestimme einen Vektor w ∈ ℝ³, sodass w = αv ,α ∈ R, mit ||w||₂ = 1 gilt. 

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Was hast du denn bei

x*v1 + y*v2+ z*v3  =(1, 4, 5)     für  x, y  , z raus. ?

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x=3    y=4    z=3√2

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wohl eher 

x=3√2    y=4    z=  - 2√2.

Und dann normieren:  Dazu berechnest du die Länge von v ,

das gibt   √ 1 + 16 + 25 ) = √42  

Also  w = 1/√42     *  v