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wie kann ich dise aufgabe lösen?
bitte um Ansätze;-)

Sei K ein Körper und sei V ein K-Vektorraum und sei F∈EndK(V). Angenommen, es existiere ein n∈ℕ mit Fn=0 als Abbildung und Fn−1 ungleich 0. Beachten Sie, dass F0:=idV.

Zeigen Sie: Es gibt ein v∈V, so dass folgendes System linear unabhängig ist:
(v,F(v),F2(v),... ,Fn−1(v))=(Fk(v);0≤k≤n−1)

Meine Idee: 

ich Wähle ein v∈V mit Fn−1(v)≠0. Seien dann λ0,...,λn−1∈K mit λ0v+λ1F(v)+...+λn−1Fn−1(v)=0. ich möchte hieraus nun λ0,...,λn−1=0 folgern. Dafür kann ich den Endomorphismus F geeignet oft auf die obere Gleichung anwenden.

aber wie mach ich das?

Avatar von

> Fn=0 als Abbildung und Fn−1 ungleich 0

Was bedeutet Fn und was bedeutet Fn-1?

> Wähle ein v∈V mit Fn−1(v)≠0

Das könnte  sich als problematisch herausstellen. Es ist nicht offensichtlich, warum ein solches v existiert.

Außerdem gehst du davon aus, dass für jedes v mit Fn−1(v)≠0 das System (Fk(v);0≤k≤n−1) linear unabhängig ist. Das ist eine stärkere Behauptung als die in der Aufgabenstellung.

F^n = 0 und F^{n-1} ungleich 0


Mhh und wie sollte ich es sonst machen?

Hey ich hab hier eine Aufgabe:

voraussetzung: K=Körper, V=K-Vektorraum. F∈EndK(v), n∈ ℕ mit Fn=0 und Fn-1 ≠0. F0 :=idv

Behauptung: es gibt ein v aus v, so dass folgendes Symstem linear unabhängig ist:

(v, F(v), F2 (v),...,Fn-1 (v))=(FK (v);0≤K≤n-1)


Meine idee: wähle ein v ∈ V mit Fn-1 (v)≠0. Seien dann λ0 ,..., λn-1 ∈ K mit  λ0 v+ λ1 F(v)+...+ λn-1 Fn-1 (v)=0.

daraus  λ0 ,..., λn-1 =0 folgern.

Fn-10 v+λ1 F(v)+...+λn-1 Fn-1 (v))=F(0)=0

⇒Fn-10 v+Fn-11 F(v))+...+Fn-1n-1 Fn-1(v))=0

⇒λ0  Fn-1 (v)+λ1 Fn-1 (F(v))+...+λn-1 Fn-1 ( Fn-1 (v))=0

⇒λ0  Fn-1 (v)+λ1 Fn(v)+...+λn-1 F2n-2 (v)=0

da Fn die 0-abbildung ist, ist das auch für alle größeren Exponenten so also;

⇒λ0  Fn-1 (v)+0+...+0=0

⇒λ0  Fn-1 (v)=0 und weil Fn-1 (v)≠0, gilt λ0 =0.

Also wird aus dem Ansatz λ0 v+λ1 F(v)+...+λn-1 Fn-1(v)=0 damit λ1 F(v)+...+λn-1 Fn-1(v)=0

Fn-21 F(v)+...+λn-1 Fn-1 (v))=F(0)=0     λ1 =0

⇒λ1Fn-2 (F(v))+...+λn-1 Fn-2 (Fn-1(v))

⇒Fn-2F(v)λ1+...+λn-1F2n-3(v)=0

⇒Fn-2F(v)=Fn-1 (v) und alle anderen Exponenten an dem F sind größer als n-2. Also sind die Fxxx (x) alle=0 und es bleibt wieder nurFn-1 (v)λ1=0 also auch λ1 =0 , da Fn-1 (v)≠0

wie muss ich jetzt weiter machen?

Jaja "deine Idee".

1 Antwort

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Beste Antwort

Die n etc. sind wohl Hochzahlen ???

Sei K ein Körper und sei V ein K-Vektorraum und sei F∈EndK(V). Angenommen, es existiere ein n∈ℕ mit Fn=0 als Abbildung und Fn−1 ungleich 0. Beachten Sie, dass F0:=idV.

Zeigen Sie: Es gibt ein v∈V, so dass folgendes System linear unabhängig ist:


(v,F(v),F2(v),... ,Fn−1(v))=(Fk(v);0≤k≤n−1)  .

Meine Idee: 

ich wähle ein v∈V mit Fn−1(v)≠0.    Und es ist dann auch v ≠ 0-Vektor.
Das gibt es, weil Fn−1nicht die 0-Abb. ist.


Seien dann λ0,...,λn−1∈K mit    λ0v+λ1F(v)+...+λn−1Fn−1(v)=0.

ich möchte hieraus nun λ0,...,λn−1=0 folgern.

Dafür kann ich den Endomorphismus F geeignet oft auf die obere Gleichung anwenden.


Genau:   Du hast   Fn-1 (    λ0v+λ1F(v)+...+λn−1Fn−1(v) )  = F(0) = 0


=>     
  Fn-1λ0v)   +  Fn-1 ( λ1F(v))  +...+ Fn-1 ( λn−1Fn−1(v))  = 0

=>   
λ0*  Fn-1v)   +  λ1*Fn-1 (F(v))  +...+λn-1 * Fn-1 ( Fn−1(v))  = 0

=>   λ0*  Fn-1v)   +  λ1*Fn(v)  +...+λn-1 * F2n-2 (v)  = 0
 
da    Fn   die 0-Abb. ist, ist das auch für alle größeren Exponenten so, also

=>   λ0*  Fn-1v)   + 0 +.  ..+  0  = 0

=>   λ0*  Fn-1v)    = 0    und weil  Fn-1v)  ≠ 0 ,
gilt   λ0 = 0 .    

Also wird  aus dem Ansatz   λ0v+λ1F(v)+...+λn−1Fn−1(v)=0
damit     λ1F(v)+...+λn−1Fn−1(v)=0.   

Darauf wendet man nun 
  Fn-2  an
und erhält damit   λ1 = 0 .     etc.






Avatar von 287 k 🚀
Danke für die antwort Und wie kann ich fn-2 anwenden?Ich wüsste grad nicht wie ich das mavhen soll

Entsprechend dem 1. Mal :

  Fn-2 (    λ1F(v)+...+λn−1Fn−1(v) )  = F(0) = 0

Muss ich das dann nach f n-2 sortieren?

Ne ausrechnen, das sind doch alles Endomorphismen, also immer 

  Fn-2 (   a + b )  =   Fn-2 ( a ) +    Fn-2 (  b)  also auch 

  Fn-2 (    λ1F(v)+...+λn−1Fn−1(v) ) 

=  
     λ1  Fn-2 (  F(v)) +...+λn−1  Fn-2 (  Fn−1(v) ) )

= ....

Also dann hab ich Fn-2 F(v)λ_1 +...+ λ_n-1F^n-3(v)=0?

Also dann hab ich Fn-2 F(v)λ_1 +...+ λ_n-1F2n-3(v)=0 


und Fn-2 F(v)   =  Fn-1  (v)  und  alle anderen Exponenten an dem

F sind  größer als  n-2 .  Also sind die F xxxx (x) alle gleich 0 
und es bleibt wieder nur  :    Fn-1(v)*  λ_1   = 0, also

auch    λ_1   = 0,   da    Fn-1(v)   ≠ 0 .
Dann geht ist also bei     λ1F(v)+λ2F(v)+...+λn−1Fn−1(v)  = 0 
auch wieder der erste Summand = 0 und du kannst die Sache

fortsetzen mit  λ2F(v)+...+λn−1Fn−1(v)  = 0   und

darauf    Fn-2  anwenden.    etc.



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