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Bei folgender Aufgabe komme ich nicht weiter Bild Mathematik

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Für n=1 ist es trivial.

Wir behaupten dass es für n=k gilt: (cosasinasinacosa)n=(cos(na)sin(na)sin(na)cos(na))\begin{pmatrix}\cos a &-\sin a \\ \sin a &\cos a\end{pmatrix}^n=\begin{pmatrix}\cos (na) &-\sin (na) \\ \sin (na) &\cos (na)\end{pmatrix}

Wir wollen zeigen dass es für n=k+1 gilt:

(cosasinasinacosa)n+1=(cosasinasinacosa)n(cosasinasinacosa)=(cos(na)sin(na)sin(na)cos(na))(cosasinasinacosa)=(cos(na)cosasin(na)sinacos(na)sinasin(na)cosasin(na)cosa+cos(na)sinasin(na)sina+cos(na)cosa)\begin{pmatrix}\cos a &-\sin a \\ \sin a &\cos a\end{pmatrix}^{n+1}=\begin{pmatrix}\cos a &-\sin a \\ \sin a &\cos a\end{pmatrix}^n\begin{pmatrix}\cos a &-\sin a \\ \sin a &\cos a\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos (na) &-\sin (na) \\ \sin (na) &\cos (na)\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\cos a &-\sin a \\ \sin a &\cos a\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos (na)\cos a -\sin (na) \sin a&-\cos (na)\sin a-\sin (na)\cos a \\ \sin (na)\cos a+\cos (na)\sin a &-\sin (na)\sin a+\cos (na)\cos a\end{pmatrix}

Um das gewünschte Ergebnis zu bekommen benutzen wir die folgende Eigenschaften:

sin(x+y)=sin(x)cos(x)+cos(x)sin(y)cos(x+y)=cos(x)cos(y)sin(x)sin(y)\sin (x+y)=\sin (x)\cos (x)+\cos (x)\sin (y) \\ \cos (x+y)=\cos (x)\cos (y)-\sin (x)\sin (y)

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