Nullstellen des Polynoms berechnen: p(x) = x³ + (√3-2)x² + (2-2√3)x - 4

Question

Bitte Lösungsweg ausführlich zeigen.

Gegeben sie folgendes Polygon:

$$ p(X) = X^3 + (\sqrt{3}-2)X^2 + (2-2\sqrt{3})X - 4 $$

Eine Nullstelle dieses Polynoms ist bei \( z_1 = 2 \). Bestimmen Sie das folgende Polynom:

\( \frac{p(X)}{X-2} = X^2 + \sqrt{3}X + 2 \)

Berechnen Sie dann die restlichen Nullstellen des Polynoms p in ℂ.

\( z_2 = -\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}i \) und \( z_3 = -\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2}i \)

Answer 1

Polynomdivision:

(x^3 + (√3 - 2)·x^2 + (2 - 2·√3)·x - 4) : (x - 2) = x^2 + √3·x + 2

x^3 - 2x^2

----------

√3·x^2 + (2 - 2·√3)·x - 4

√3·x^2 - 2·√3·x

----------

2·x - 4

2·x - 4

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0

Alternativ geht auch noch viel schneller das Horner Schema

Nullstelle x = 2

1	√3 - 2	2 - 2·√3	-4
0	2	2·√3	4
1	√3	2	0

Restpolynom ist also x^2 + √3·x + 2

Nullstellen des Restpolynoms machst du mit der pq-Formel. Solltest du schaffen oder?