Nullstellen des Polynoms x^2 - i ∈ ℂ [x]

Question

Aufgabe:

B) Berechnen Sie alle Nullstellen des Polynoms  x^2 − i ∈ ℂ[x] und stellen Sie sie jeweils in der Form a+bi mit a, b ∈ R dar.

(c) Bestimmen Sie die Polarkoordinaten der fünf verschiedenen z ∈ ℂ, für die
z^5= i gilt.

Answer 1

x^2 − i =(x-0,5*√2 -0,5*i*√2)(x+0,5*√2 +0,5*i*√2)

Die Nullstellen sind also

-0,5*√2 -0,5*i*√2   und   0,5*√2 +0,5*i*√2

z^5 = i .  Die Lösungen haben alle Betrag 1 und

Weil i den Winkel  90° hat, haben die 5 Wurzeln die Winkel

90°:5 = 18°

(360°+90° ) : 5 = 90°    (denn i^5 = i )

(2*360°+90° ) : 5 = 162°

(3*360°+90° ) : 5 = ...

(4*360°+90° ) : 5 = ...

Answer 2

Aufgabe B)

x^2-i= 0  x=a+ib

(a+ib)^2 -i=0

a^2 +2iab -b^2-i=0

Realteilvergleich:

1) a^2-b^2=0

Imaginarteilvergleich:

2) 2ab -1=0

Löse das System.