Suche die komplexen Nullstellen des Polynoms x^5+3x^4+2x^3+x^2+3x+2 = (x +1) (x +2) (x^2-x+1)

Question

hab mal zwei Frage:

1. x⁵+3x⁴+2x³+x²+3x+2

bestimme alle komplexen nullstellen des polynoms. zerlege das polynom in Pol C in ein produkt von linearfaktoren.

 

mein Gedanke war erstmal eine Nullstelle zu erraten:

das wäre dann f(-1)=0. dann folgt durch polynomdivision:

x5+3x4+2x3+x2+3x+2 : (x+1) = x⁴+2x³+x+2

 

Faktor wäre dann: (x +1) (x +2) (x²-x+1)

durch ablesen erhält man dann: x₁₌-1 und x₂=-2

Ist das so richtig oder fehlt da was?

 

2. Wie löst man  so etwas wenn die nullstelle nicht erraten werden kann bzw. wenn sie nicht reell ist ?

bsp: 

v^4-18v^3-2v+26

Comments

Faktor wäre dann: (x +1) (x +2) (x²-x+1)

durch ablesen erhält man dann: x₁₌-1 und x₂=-2

Ist das so richtig oder fehlt da was?

 

das ist soweit richtig, du hast die reellen nullstellen bestimmt. allerdings ist das an der aufgabenstellung vorbeigeschossen, denn es werden die komplexen nullstellen gesucht.

---

oh achso und wie mache ich dass? danke schon mal :)

---

sorry, ich habe dein kommentar jetzt erst entdeckt.
siehe antwort.
lg

Answer 1

hi

x² - x + 1 = 0
x_1,2 = 1/2 ±  √(1/4-1)
x_1,2 = 1/2 ±  √(-3/4)
x_1,2 = 1/2 ±  √((-1)(3/4))
x_1,2 = 1/2 ±  √(-1) √(3/4)
x₁ = 1/2 + i√(3/4)
x₁ = 1/2 + i√3/2
x₂ = 1/2 - i√(3/4)
x₂ = 1/2 - i√3/2

Comments

danke...

habs dann sogar selbst hinbekommen :)

---

supie! umso besser! :-)

Answer 2

Du bist schon fast am Ziel. Man muss so langPolynomdivisin anwenden, bis eine quadratische Gleichung übrig bleibt. Diese löst man dann mit pq-Formel oder Mitternachtsformel. Für x1 und x2 kommen negative wurzeln raus, aus denen kann man dan eine komplexe zahl bilden.