Überprüfe mit Matrizen: Drehung und Streckung von (0|0) aus können vertauscht werden.

Question

Aufgabe:

Betrachtet seien die Vektoren \( \underline{r}, \underline{\dot{r}} \in R^{2} \), wobei \( \underline{r} \) aus \( \underline{ \dot{r} } \) durch lineare Abbildung so hervorgeht, dass gilt:

- \( \underline{|\hat{r}|}=s \cdot \mid \underline{|r|}, s \in R \)

- \( \dot{r} \) ist um den Winkel \( \alpha \) aus \( \underline{r} \) gedreht

(Drehstreckung).

Überprüfen Sie die Aussage: Es ist egal, ob zuerst gedreht und danach gestreckt wird, oder umgekehrt.

Answer 1

Sei r = (x,y)

Drehung um Winkel A mit Drehmatrix D

cos A       -sinA

sinA         cosA

D*r = r'

r' = (xcosA - ysinA, xsinA + ycosA)

Streckung mit Skalar s.

s*r' = r'' = (sxcosA - sysinA, sxsinA + sycosA)

umgekehrt

Mult. mit Skalar

s*r = r ''' = (sx, sy)

Drehung

D*r''' = ( sxcosA - sysinA, sxsinA + sycosA)

qed. Drehen und Strecken können vertauscht werden, wenn beides das Zentrum in (0|0) hat.

Comments

Naja, die Streckung um ein Skalar kommutiert als Vielfaches der Einheitsmatrix mit allen linearen Abbildungen... (in der vorletzten Zeile der Antwort sollte es übrigens r''' statt r'' heißen)

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um ein Skalar kommutiert als Vielfaches der Einheitsmatrix mit allen linearen Abbildungen... 

Danke. Das ist eine Streckung mit Zentrum (0|0).