Bestimmen Sie alle reellen Eigenwerte von A: Drehung um y-Achse um π/3.

Question

Aufgabe (Eigenwerte):

Durch die Matrix

\( A=\left(\begin{array}{ccc} \cos \left(\frac{\pi}{3}\right) & 0 & -\sin \left(\frac{\pi}{3}\right) \\ 0 & 1 & 0 \\ \sin \left(\frac{\pi}{3}\right) & 0 & \cos \left(\frac{\pi}{3}\right) \end{array}\right) \)

wird eine Drehung um \( \frac{\pi}{3} \) um die \( y \)-Achse beschrieben.

Bestimmen Sie alle reellen Eigenwerte von \( \mathrm{A} \).

Fortsetzung Zeigen Sie mit Hilfe von Eigenvektoren, dass die durch die Matrix A beschriebene lineare Abbildung nur die Drehachse auf sich selber abbildet.

Ansatz:

Es handelt sich um Matrizen und um die Berechnung von Eigenwerten und eine anschließende Fortsetzung. Nun habe ich es (so denke ich zumindest) geschafft die Eigenwerte zu ermitteln. Jedoch weiß ich nicht, ob es die richtigen Werte sind und bei der Fortsetzung der Aufgabe habe ich keine Ansätze.

\( A=\left(\begin{array}{ccc}\cos \left(\frac{\pi}{3}\right) & 0 & -\sin \left(\frac{\pi}{3}\right) \\ 0 & 1 & 0 \\ \sin \left(\frac{\pi}{3}\right) & 0 & \cos \left(\frac{\pi}{3}\right)\end{array}\right) \)

Umformen:

\( A= \left(\begin{array}{ccc}\frac{1}{2} & 0 & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ 0 & 1 & 0 \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & 0 & \frac{1}{2}\end{array}\right) \)

\( \operatorname{det} A=\left(\begin{array}{ccc|cc}\frac{1}{2}-\lambda & 0 & -\frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2}-\lambda & 0 \\ 0 & 1-\lambda & 0 & 0 & 1-\lambda \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & 0 & \frac{1}{2}-\lambda & \frac{\sqrt{3}}{2} & 0\end{array}\right. \)

\( \begin{aligned} &\left(\frac{1}{2}-\lambda\right)^{2} \cdot(1-\lambda)-\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \cdot(1-\lambda) \cdot\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \\=&\left(\frac{1}{2}-\lambda\right)^{2} \cdot(1-\lambda)-\left(-\frac{3}{4} \cdot(1-\lambda)\right) \\=&\left(\frac{1}{2}-\lambda\right)^{2} \cdot(1-\lambda)-\left(-\frac{3}{4}+\frac{3}{4} \lambda\right) \\=&\left(\frac{1}{2}-\lambda\right)^{2} \cdot(1-\lambda)+\left(\frac{3}{4}-\frac{3}{4} \lambda\right) \\ & \Rightarrow \lambda_{1,2}=\frac{1}{2} ; \lambda_{3}=1(\text { zweifach }) \end{aligned} \)

Answer 1

nach meinen Berechnungen gilt für das charakteristische Polynom$$\det(A-\lambda I)=-\lambda^3+2\lambda^2-2\lambda+1=(1-\lambda)\cdot(\lambda^2-\lambda+1).$$Es gibt demnach nur den einen reellen Eigenwert \(\lambda_1=1.\)

Answer 2

Da ist noch was falsch. Du musst die Det weiter ausrechnen, das gibt

(erst mal 1 - Lambda ausklammern)  (1-Lambda)(lambda^2 - lambda +1).

Jetzt das Ergbenis gleich Null setzen, dann bekommst du nur 1 als Eigenwert

denn lambda^2 - lambda +1=0 hat keine reelle Nullstelle.

Für die Eigenvektoren machst du dann so einen Ansatz wie

Matrix mal Vektor x   = Eigenwert mal Vektor x

Hier also M * x = x

Das hat die Lösungen x1=0    x2 beliebig     x3=0

Alle Eigenvektoren sind also von der Form     (0;t;0)   (als Spalte geschrieben)

Das ist aber ein Richtungsvektor der y-Achse.

Die Eigenvektoren sind aber die einzigen, die bei Anwendung der

Abbildung ihre Richtung nicht ändern, also ist die y-Achse, die einzige

Gerade, die bei der Anwendung der Abbildung ihre Richtung nicht ändert.

Außerdem ist der Eigenwert 1, also wird aus einem Punkt auf der y-Achse, das

1-fache d.h. er bleibt gleich. q.e.d.

Comments

Danke für die Hilfe :) Ich habe den ersten Teil verstanden aber die Berechnung der Eigenvektoren ist für mich noch ein wenig unklar. Ich hätte hierzu einfach mein Eigenwert in die Matrix A für Lambda eingesetzt. Danach hätte ich eine der drei Zeilen der Matrix A genommen und eine der drei Zahlen der Zeile direkt Null gesetzt und die anderen beiden Zahlen vertauscht und das Vorzeichen einer Zahl umgedreht. Ich weiß aber nicht ob es die richtige Überlegung ist.

Answer 3

In der zweitletzten Zeile hast du noch ein PLUS. Da musst du erst noch faktorsieren.

(0.5 - k)^2(1-k) + 3/4(1-k) = ((0.5 - k)^2 + 3/4)(1-k)

Das hat die einzige reelle Lösung k=1. Das ist eine einfach Nullstelle!

Grund: In der ersten Klammer steht eine Quadratzahl PLUS 3/4, das kann niemals 0 geben.

Comments

Danke für die Antwort ich habe den ersten Aufgabenteil jetzt verstanden :) Nur beim zweiten Teil habe ich bei der Fortsetzung der Aufgabe noch Probleme die richtigen Eigenvektoren zu ermitteln. Ich dachte erst man muss da die Matrix A nehmen und für die drei Lambdas den berechneten Eigenwert einsetzen und dann umformen aber ich denke das ist wohl hier eine falsche Überlegung. MfG

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Da die y-Achse die Drehachse ist, weisst du bereits, dass ein zu 1 passende Eigenvektor (0,1,0) ist. Oder allgemein (0, a,0) mit a≠0.

Rechne nun A*(x,y,z) = (x,y,z) um zu diesen Vektoren zu kommen.

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Danke ich kann es nachvollziehen :)