Matrix-Darstellung bezüglich Standard-Basis mit Drehung und Spiegelung

Question

Aufgabe:

Sei \( f : R^3 \rightarrow R^3 \) die lineare Abbildung, die zunächst wird um 30° um die e2-Achse gedreht, und zwar gegen den Uhrzeigersinn, wenn man aus Richtung der positiven e2-Halbachse auf die e1-e3-Ebene blickt, dann wird an der e1-e2-Ebene gespiegelt und schließlich um 90° um die e1-Achse gegen den Uhrzeigersinn gedreht.

Bestimmen Sie die Matrix-Darstellung von f bezüglich der Standard-Basis (e1, e2, e3).

Problem/Ansatz:

1. 30° um die e2-Achse (z-Achse?): \( \begin{pmatrix} \frac{1}{2} \sqrt3 & -\frac{1}{2} & 0 \\ \frac{1}{2} &  \frac{1}{2} \sqrt3 & 0 \\   0        &  0          & 1 \end{pmatrix} \)

2. Spiegelung e1-e2-Ebende: \( \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \)

3. Drehung 90° um die e1-Achse: ?

Nun weiß ich nicht, wie ich weiter vorgehen soll. Zum einen am Punkt 3 (90° Drehung), sowie das weitere Vorgehen. Reicht es, wenn ich am Ende die Matrizen einfach nur multipliziere?

Answer 1

Hallo

 normalerweise nennt man die Achsen in der Reihenfolge x,y,z dann ist e2 die y-Achse

90Grad um e1 =xAchse also cos90° und sin90° verwenden,

am Ende die 3 Matrices multiplizieren von mit 3te *2te mal erste.

Gruß lul

Comments

Ok, habe die drei Punkte nun abgehakt.

Punkt 1 wäre die Drehmatrix um die y-Achse, also einfach einsetzen und Punkt 3 die Drehmatrix um die x Achse mit cos90°=0 und sin90°=-1 (da gegen den Uhrzeigersinn).

Wieso muss ich nun die drei Matrizen von hinten aus rechnen? Also wie du sagst die 3te * 2te * 1te

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Wieso muss ich nun die drei Matrizen von hinten aus rechnen? Also wie du sagst die 3te * 2te * 1te

Seien \(A_1\), \(A_2\) und \(A_3\) die drei Matrizen und \(A_1\) sei die erste, die die Drehung um die \(e_2\)-Achse um 30° realisiert. Dann ist die Gesamttransformation eines Punktes \(x\) nach \(x'\):$$x' = A_3 \cdot A_2 \cdot \underbrace{A_1 \cdot x}_{\text{dies zuerst}}$$genau in dieser Reihenfolge, da \(x\) zuerst mit \(A_1\) und erst danach das Ergebnis dieser Drehung mit \(A_2\) an der \(E_{12}\)-Ebene gespiegelt wird usw.

Dies gilt zumindest in der üblichen Spaltenschreibweise der Vektoren. Das kann man auch transponieren. Genauso richtig ist:$$x'^T = \underbrace{x^T \cdot A_1^T}_{\text{dies zuerst}} \cdot A_2^T \cdot A_3^T$$... aber diese Schreibweise ist nicht üblich.

Es kommt als nicht darauf an, wie es geschrieben wird, sondern in welcher Reihenfolge die Multiplkationen mit \(x\) durchgeführt werden. Und die ist in beiden Fällen 1, 2, 3.

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Dann wäre also mein Ergebnis wie folgt:

\( x' =  A_3 \cdot (A_2 \cdot A_1) \) = \( \begin{pmatrix} \frac{1}{2}\sqrt3 & 0 & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & 0 & - \frac{1}{2}\sqrt3 \\ 0 & -1 & 0 \end{pmatrix} \)

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Dann wäre also mein Ergebnis wie folgt:

Ich komme mit den drei Matrizen $$A_1 = \begin{pmatrix} \frac 12 \sqrt 3& 0& \frac 12 \\ 0 & 1& 0\\ -\frac 12 & 0& \frac 12 \sqrt 3\end{pmatrix} \\ A_2 = \begin{pmatrix} 1& 0& 0 \\ 0& 1& 0\\ 0& 0& -1 \end{pmatrix}\\ A_3 = \begin{pmatrix} 1& 0& 0 \\ 0& 0& -1 \\ 0& 1& 0 \end{pmatrix}$$auf das Ergebnis$$A_3 \cdot A_2 \cdot A_1 = \begin{pmatrix} \frac 12 \sqrt 3& 0& \frac 12\\ -\frac 12& 0& \frac 12 \sqrt 3\\ 0& 1& 0 \end{pmatrix}$$Deine Matrix \(A_3\) sieht wahrscheinlich anders aus ...

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Meine \( A_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \end{pmatrix} \), da wir gegen den Uhrzeigersinn drehen.

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..., da wir gegen den Uhrzeigersinn drehen.

Ja das ist richtig, da mathematisch positiv. Schau Dir folgendes Bild an:

(.. und klick drauf) das kleine Koordinatensystem ist gegenüber dem großen um \(\colorbox{#ffff00}+90°\) in Richtung der X-Achse gedreht. Das ist gegen den Uhrzeigersinn, wenn man gegen die Richtung der X-Achse auf das System schaut.

Die neue Y-Achse (blau) zeigt nach oben, alos in positive Z-Richtung \(\to \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 1\end{pmatrix}\), das ist die zweite Spalte von \(A_3\). Die neue Z-Achse (rot) zeigt in negative Y-Richtung \(\to \begin{pmatrix} 0\\ -1\\ 0\end{pmatrix}\). Das ist die dritte Spalte von \(A_3\).

Dein \(A_3\) ist eine Drehung um \(\colorbox{#ffff00}{-90°} \).