Konvergenzkriterium Reihe auf absolute Konnvergenz prüfen. Summe (-1)^n 1/√n (1 + (-1)^n/√n )

Question

Untersuche, die folgenden Reihen auf absolute Konvergenz und begründe jeweils, weshalb die Reihen konvergent bzw. nicht konvergent sind.

Könnte jemand ausführlich beide Aufgaben mir vorrechnen und sagen, welches Kriterium man benutzt?

Comments

Benötige Hilfe für c

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c) ist hier schon gelöst:

https://www.mathelounge.de/407146/konvergenz-reihen-wurzelkriterium-erfullt-aussage-moglich?show=407160#a407160

Answer 1

Da die erste Reihe eine alternierende ist, würde sich hier das Leibnizkriterium anbieten.

Sei (an)n€ IN eine Folge. an=1/√n*(1+(-1)ⁿ/√n)

Betrachte erstmal den Ausdruck in der Klammer. Den schreibst du erstmal um: (√n/√n+(-1)ⁿ/√n). Als zweitens komplett ausmultiplizieren: 1/√n*(√n/√n+(-1)ⁿ/√n)=1/√n+(-1)ⁿ/n, da im Nenner jeweils √n und n stehen, ist (an)n€IN eine Nullfolge.

Somit konvergiert nach dem Leibnizkriterium die ∑(-1)ⁿ*1/√n*(1+(-1)ⁿ/√n)

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Wie zeige ich an>=o für alle n?

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Das Leibnizkriterium erfordert zusätzlich die Monotonie der Folge. Die Reihe konvergiert nicht.

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für die monotonie gilt: a_n+1 - a_n <0

1/(wurzel(n+1))+( (-1)ⁿ⁺¹ )/(n+1) - 1/wurzel(n)+(-1)ⁿ /n <0  wie zeige ich dass das gilt

wie kann ich vereinfachen?

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Da würde ich lieber schreiben a_n+1<a_n , (denn in deiner Schreibweise hast du ein Plus anstatt Minus) und dann a_n auf die andere Seite bringen. Aber: lieber so umformen und vereinfachen und zuletzt alles auf eine Seite bringen. Sind dann a_n+1-a_n < 0, ist es monoton fallend, wenn es größer ist, dann monoton steigend.

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Wie sieht jetzt der korrekte rechenweg aus, da ja die Reihe nicht konvergiert?

Könnte jemand mir sie formal richtig aufschreiben, damit ich weiß wie es in der Klausur tun müsste

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mich würde doch das Ergebnis interessieren. War denn die Reihe konvergent?