Matrizen Induktion Beweisen

Question

Bei dieser Aufgabe komme ich gar nicht weiter:

Answer 1

Wie weit kommst du denn selber ?

Schaffst du selbst den Induktionsanfang nicht ?

Wenn du bereits irgendwas geschafft hast, dann scheu dich nicht das hier auch hin zu schreiben.

Comments

Mich verwirrt die Induktion, weil ich diese bis jetzt  nur mit einem Summenzeichen kenne

Bis jetzt habe ich keinen Anfang

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Ich würde aber für beide Seiten für das n die Zahl 1 oder eine größere einsetzen, um zu sehen, ob bei beiden das Gleiche raus kommt. Aber ich weiß nicht was mit mit Alpha usw machen soll

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Zeige, dass [COS(α), - SIN(α); SIN(α), COS(α)]^n = [COS(n·α), - SIN(n·α); SIN(n·α), COS(n·α)] für n ≥ 1

Induktionsanfang: n = 1

[COS(α), - SIN(α); SIN(α), COS(α)]^1 = [COS(1·α), - SIN(1·α); SIN(1·α), COS(1·α)]

Ich denke hier ist kein weiterer Kommentar nötig oder?

Induktionsschritt: n --> n + 1

[COS(α), - SIN(α); SIN(α), COS(α)]^{n + 1}

= [COS(α), - SIN(α); SIN(α), COS(α)]^n · [COS(α), - SIN(α); SIN(α), COS(α)]

= [COS(n·α), - SIN(n·α); SIN(n·α), COS(n·α)] · [COS(α), - SIN(α); SIN(α), COS(α)]

= [COS(n·α)·COS(α) - SIN(n·α)·SIN(α), ...; ..., ...]

= [COS(n·α + α), ...; ..., ...]

= [COS((n + 1)·α), ...; ..., ...]

Ich habe bei der Multiplikation der Matrizen nur mal das erste Element links oben betrachtet. Die anderen sollten aber genauso gehen.