Koeffizientenvergleich bei DGL 1.Ordnung

Question

kann mir jemand erklären wie man hier die Konstanten bestimmt?

Answer 1

y ' - 5y = cos(x) + 4 sin(x)

y_P = a * cosx + b * sin(x)

y_P' = b·cos(x) - a·sin(x)

in DGL Einsetzen:

b·COS(x) - a·SIN(x) - 5·(a·COS(x) + b·SIN(x)) = COS(x) + 4·SIN(x)

zusammenfassen:

(b - 5·a)·COS(x) - (a + 5·b)·SIN(x)  =  COS(x) + 4·SIN(x)

Koeffizientenvergleich:

b - 5a = 1    ∧    a + 5b  = - 4

a = - 9/26   ∧   b = - 19/26

Gruß Wolfgang

Answer 2

yh = C(x) e^{5x}

y=Acos(x) + Bsin(x)

y'= -Asin(x) + Bcos(x)

-Asin(x) + Bcos(x) - 5(Acos(x) + Bsin(x)) = cos x+ 4sinx

(-A -5B) sinx + (B-5A) cos(x) = cosx + 4sinx

(-A -5B)= 4

(B-5A) = 1

B = 1 + 5A

(-A- 5(1 + 5A)) = 4

(-A - 5 - 25A) = 4
-26 A = 9
A = - 9/26

B + 5* 9/26= 1

B+ 45/26 = 1

B = -19/26

Damit erhalten wir als spezielle Lösung:
ys= -9/26 cos(x) - 19/26 sin(x)

Jetzt setzen wir beides zusammen und erhalten:
y(x) = -9/26 cos(x) - 19/26 sin(x) + c*e^{5x}