Gibt es eine lineare Abbildung von R^3->R^3. Begründen sie.

Question

Gibt es eine R-lineare Abbildung f:R^3->R^3 mit

f(1,0,1)=(2,1,4),  f(0,1,1)=(-1,2,0),  f(1,-1,0)=(3,-1,4)?

Begründen sie.

Man muss doch
die Vektoren in eine Matrix schreiben oder?

Comments

vielleicht so:

 f(1,0,1)=(2,1,4),  f(0,1,1)=(-1,2,0),  f(1,-1,0)=(3,-1,4)
$$\begin{pmatrix}  1 & 0& 1\\ 0 & 1& 1\\1&-1 &0\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} r&s&t\\u&v&w\\x&y&z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}  2 & -1& 3 \\ 1 & 2 &-1 \\4& 0&4\end{pmatrix} $$

Answer 1

Du musst nur prüfen, ob   (1,0,1) , (0,1,1) , (1,-1,0)  linear unabh. sind.

Das sind sie nicht !   Denn 

 1* (1,0,1)  +  -1* (0,1,1)  =   (1,-1,0) 

Wenn es also eine lin. Abb dieser Art gibt, dann muss gelten

 f(   (1,0,1) - (0,1,1) )    =    f  (1,-1,0)   also wegen linear 

 f(   (1,0,1) - f (0,1,1) )    =    f  (1,-1,0)   mit deinen Zahlen

 (2,1,4)  -   (-1,2,0)   =(3,-1,4)  Das stimmt also.

Dann kannst du     (1,0,1) , (0,1,1) zu einer Basis von IR³ ergänzen,

etwa   durch  ( 0;0;1)  und legst für diesen letzten Basisvektor auch

etwas fest ( ist egal was) etwa  f(0;0;1) = (0;0;0)

Dann hast du   f(1;0,0) = f ( ( 1;0;1) - ( 0;0;1))

 =  (2,1,4) -  (0;0;0) =  (2,1,4)und f(0;1;0) = f(  ( 0;1;1) - ( 0;0;1)) 

=   (-1,2,0)  -  (0;0;0) =   (-1,2,0)

Also ist die Matrix dieser Abb.  = 

2     -1     0
1      2     0
4      0     0