f: D--> [0,unendlich) mit f(x) = (x-3)^4 - 4 Maximal möglicher Definitionsbereich? a) - c)?

Question

Aufgabe:

Gegeben sei die Funktion \( f: D \rightarrow[0, \infty) \) durch \( f(x)=(x-3)^{4}-4 \)
a) Bestimmen Sie den maximal möglichen Definitionsbereich \( \widetilde{D} \subset \mathbb{R} \) von \( f \)
b) Ist \( f: \widetilde{D} \rightarrow[0, \infty) \) surjektiv und/oder injektiv und/oder bijektiv?
c) Bestimmen Sie nun einen Definitionsbereich \( D \) so, dass \( f \) bijektiv ist. Weisen Sie die Bijektivität nach.
d) Sei der Definitionsbereich \( D \) wie in Teilaufgabe c) gewählt. Geben Sie eine Umkehrfunktion \( f^{-1}: V \rightarrow W \) an und bestimmen Sie Definitions-und Wertebereich.
e) Berechnen Sie \( f^{-1}(12) . \) Warum ergibt es keinen \( \operatorname{sinn}, \) nach \( f^{-1}(-\pi) \) zu fragen?

Könnte mir jemand zeigen, wie ich a)-c) lösen muss? und was bedeuten die Klammer bei D?

Comments

Wo liegen denn die genauen Schwierigkeiten. Bei a) sollst du doch nur den größtmöglichen Definitionsbereich angeben.

Ist es ganz R oder wird der Definitionsbereich durch irgendetwas eingeschränkt? Beachte dabei das eine Bildmenge angegeben ist.

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" und was bedeuten die Klammer bei D?"

Das Intervall [0, ∞)  ist der Bildbereich B / Wertevorrat von f. 

Schau mal bei eurer Definition von Funktion nach, ob du W oder B verwenden sollst. 

 Intervall [0, ∞) = { x Element R | x≥0 } also die Menge der nichtnegativen reellen Zahlen.

Du sollst nun bei a) dieses D so abändern, dass es keine neg. Funktionswerte gibt. 

~plot~ (x-3)^4 - 4 ~plot~ 

zeigt allerdings, dass die vorhandene Definition von f nicht passt. Es gibt durchaus Elemente des Definitionsbereichs, die auf neg. Zahlen abgebildet werden. 

Demgegenüber wären alle neg. x-Werte problemlos möglich. 

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wie löst man a) rechnerisch?

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Löse (x-3)^{4}-4 = 0 nach x auf. ;)

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also die Ns, muss ich auch die TS bestimmen, um so argumenzieren zu können, dass in dem Intervall die Werte negativ sind?

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Nein. Eventuell weißt du auch so wie der Graph von

z^4 - 4

bzw.

(x - 3)^4 - 4

aussieht.

Welche Form? Und wohin geöffnet?

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scheitelpunkt 3/4

parabel nach oben geöffnet

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wie zeigt man dass sie surjektiv ist und nicht bijektiv, injektiv ist?

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Parabel 4. Grades. Wenn man den Grad nicht dazu sagt, dann geht man in der Regel von einer Parabel 2. Grades aus.

Aber wenn du das weißt das es wie eine nach oben geöffnete Parabel ausschaut, dann weißt du auch wo der Definitionsbereich liegen muss, damit du keine negativen Funktionswerte bekommst.

Weißt du überhaupt was es bedeutet wenn eine Funktion surjektiv, injektiv oder bijektiv ist?

Wenn du das wirklich verstehst, sollte es auch klar sein wie du es zeigst.

Nämlich das die Bedingungen für die Definitionen erfüllt bzw. nicht erfüllt sind.

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meine Frage, war wegen der Schreibweise. wie würde es ausreichen es aufzuschreiben?

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Gegenfrage. Was verstehst du an der Schreibweise von mathef nicht.

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Das Zeigen der Bijektivität fehlt. Wie bist du in c) auf den Definitionsvereich gekommemen?

Answer 1

Die Kommentare geben doch schon fast die Lösung von a) :

D~ =  (-∞ ;  3-√2 ] ∪ [ 3+√2 ; +∞ )

b) offenbar surjektiv ( alle erlaubten y-Werte kommen vor )

aber nicht Injektiv.

c) geht etwa mit    [ 3+√2 ; +∞ )

d)  Ansatz  ( x-3)⁴ - 4 = 12

−π ∉ [ 0 ; ∞ )

Comments

was bedeutet die "Schlange" ~ über dem D?!

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bedeutet nix, ist einfach so eine Art Dinge, die irgendwie die gleiche Rolle spielen,

ähnlich zu bezeichnen, etwa statt   a1 und a2

auch a und a '   oder    a und a^quer  oder eben auch     a und a~

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wie zeigt man dass sie surjektiv ist und nicht bijektiv, injektiv ist?

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surjektiv:

Sei y aus [ 0 ; ∞ ) .

Dann musst du zeigen:   Es gibt ein x aus D~ mit f(x) = y .

also ( x-3)⁴ - 4 = y


<==>     ( x-3)⁴    =   4 + y

Und wegen y ≥ 0 ist auch    4 + y  ≥ 0  
also existiert die 4. Wurzel aus  4+y , sie sei w .


Dann  ist   x-3 = w    und es ist  w ≥ √2

               also ist   etwa  x =  3+w  ein geeigneter

x-Wert und der ist  größer oder gleich   3+√2
 

also aus D~.Und nicht Injektiv ist es, weil f(  3+√2 ) =  f(  3-√2 ).

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y = (x-3)⁴ - 4

x y tauschen und nach y auflösen :

x= (y-3)⁴ - 4

<==> x + 4  = (y-3)⁴

 <==>  ± ( x + 4) ^0,25    = y-3


<==>     3 ±( x + 4) ^0,25    = yJe nach Wahl des Def.ber. ist die Umkehrfkt die mit + oder mit - .

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super danke

also in diesem fall die mit +

zu e) warum macht es keinen sinn dach zu fragen?

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-pi liegt nicht in [ 0 , ∞ )

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zu d muss ich doch aufgrund von d 3+(x... wählen?

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wie bist du in c) auf den Definitionsbereich gekommemen