Zeigen Sie für alle x,y element R die Ungleichung e^ ((x+y)/2) ≤ (e^x + e^y)/2

Question

guten Tag zusammen. könnte jemand mir behilflich sein, und zeigen wie man die Aufgabe löst?

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Folgende Aufgabe:

Ich soll zeigen, dass $$ e^{ \frac {x+y}{2}} \leq \frac{e^{x}+e^{y}}{2}$$ gilt, für alle x,y e R

Mache ich das per Induktion? Stehe heute leider etwas auf dem Schlauch :)

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Schau mal hier nach :

https://www.mathelounge.de/409159/

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Danke :D hab dies leider nicht über die Suche gefunden! Kann hier also gelöscht werden

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Ok, leider verstehe ich die da aufgeführten Schritte nicht, kann mir die wer erklären?

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Hier nochmals https://www.mathelounge.de/498710/ungleichung-zeigen-sie-fur-alle-x-y-∈-r-gilt-e-x-y-2-≤-e-x-e-y-2

Answer 1

Das ist die Jensensche Ungleichung für die Exponentialfunktion

s. https://de.wikipedia.org/wiki/Jensensche_Ungleichung

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Kann jemand das weiter erläutern? das wäre nett

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Was ist den nicht klar. In dem Link steht doch eigentlich alles drin.

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Könntest du das an dem hier angesprochenen Beispiel zeigen? Vlt verstehe ich es dann besser :)

Die Schritte von einer zur anderen Zeile sind mir oft nicht geheuer :D

Danke

Answer 2

Ein direkter Beweis geht mit der AGM-Ungleichung: $$e^\frac{x+y}{2}=\sqrt{e^xe^y}\le\frac{e^x+e^y}{2}$$

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Frage zum Begriff: AGM-Ungleichung

Du beziehst dich hier auf die Ungleichung (12) bei https://de.wikipedia.org/wiki/Arithmetisch-geometrisches_Mittel#Einfache_Eigenschaften und nimmst an, dass die bereits bewiesen wurde?

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Nein, nur auf das da für n=2:

https://de.wikipedia.org/wiki/Ungleichung_vom_arithmetischen_und_geometrischen_Mittel

Und wer nicht mal das kennt, kann mit $$\left(e^{x/2}-e^{y/2}\right)^2\ge0$$ anfangen. Ausrechnen und Umstellen ergibt ebenfalls direkt die gewuenschte Ungleichung.