Abbildungsmatrix bezüglich der Standardbasen phi(x,y,z):= ( x-2y + 3z, -x + 2y + z)

Question

 

ich komme mit folgender Aufgabe nicht klar. bitte um Hilfe. Die Aufgabe lautet:

"Es seien E₂ und E₃ die Standardbasen des reellen Vektorraums R² bzw. R³ und Φ : R³ → R² die durch 

  

a) Bestimmen Sie die Abbildungsmatrix bezüglich der Standardbasen. 

b) Bestimmen Sie den Kern ker Φ und das Bild Φ(R³) von Φ. Ist Φ injektiv? Ist Φ surjektiv?"

Comments

Hast Du die Matrix schon aufgestellt?

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Weitere Teilaufgaben falls nötig hier: https://www.mathelounge.de/409243/phi-x-z-x-2y-3z-x-2y-z-%CF%86-b2-%CF%86-b3-ist-eine-basis-des-bildraums-zeigen

Answer 1

phi((x,y,z)):= ( x-2y + 3z, -x + 2y + z)

a) In den Spalten der Abbildungsmatrix stehen die Bilder der Standardbasisvektoren

phi((1,0,0)):= ( 1, -1)

phi((0,1,0)):= ( -2, 2)

phi((0,0,1)):= ( 3, 1)

Matrix M =

[ 1, -2, 3

 -1, 2, 1 ]

b) phi ist nicht injektiv, da

phi((-2,0,0) )= phi((0,1,0)) aber (-2,0,0) ≠ (0,1,0)

phi ist surjektiv, da (3,1) linear unabhängig ist von (1,-1) und die beiden Bildvektoren daher die 2-dim Ebene (= den ganzen Bildbereich) aufspannen. D.h. Bild(phi(R^3)) = R^2

Jetzt kannst du mal nachprüfen, was da steht und noch den Kern der Abbildung ausrechnen.