Folgenden Vektorterm nachvollziehbar vereinfachen (c x(2a+b))(a+b)

Question

Man zeige: Der Ausdruck (c x(2a+b))(a+b) ist gleich dem Spatprodukt der Vektoren a,b und c .Ich wäre sehr dankbar wenn mir jemand diese Vereinfachung in nachvollziehbaren Schritten aufzeigen könnte.

Answer 1

(cx(2a+b))(a+b)

=(cxa+cx(a+b))(a+b)

 | Kreuzpr. Distributivgesetz

=(cxa)(a+b)+(cx(a+b))(a+b)

|Skalarpr.Distributivg.

=(cxa)(a+b)+0| Skalarpr. senkt. Vektoren=0

=(cxa)a+(cxa)b| Distributivgesetz

=0+(cxa)b|Skalarpr. senkr. Vektoren=0

=(axb)c| Spatprodukt ist zyklisch vertauschbar

Answer 2

 (c x(2a+b))(a+b)

=  ((c x 2a)+ (cxb)) (a+b)

=  ((c x 2a)*a + (c x 2a)*b * (cxb)*a + (cxb)*b)   | Blau ist 0, weil die Skalarprod von orthogonalen Vektoren 0 ist. 

=  ( (c x 2a)*b +  (cxb)*a  |  Skalarprod. kommutativ 

= ( - 2a x c)*b + a*(cxb)  | Eigenschaft von Spatprodukt: Produktart ändern

= (-2a)*(c xb) + a*(cxb)     | Skalar vor das erste Produkt ausklammern

= -2 a*(cxb) + a*(cxb)

= - a*(c xb)    | Vektorprod. bekommt - , wenn man Reihenfolge tauscht. 

= a*(b x c)

.