Beweisen Sie schlüssig, dass A = B C nicht invertierbar ist. A ∈ K^(4×4) , B ∈ K^(4×3) , C ∈ K^(3×4)

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 Sei K ein Körper und seien A ∈ K 4×4 , B ∈ K 4×3 , C ∈ K 3×4 , so dass A = B C . Beweisen Sie schlüssig, dass A nicht invertierbar ist.


wie kann ich das beweisen? bitte um hilfe

Gefragt 3 Jan von Cagcel

2 Antworten

+1 Punkt

B und C haben maximal den Rang 3.

Matrixmultplikation kann den Rang nicht vergrössern.

Also hat A maximal den Rang 3 . 4x4-Matrizen sind aber nur invertierbar, wenn sie den Rang 4 haben. 

Beantwortet 3 Jan von Lu Experte CII
+1 Punkt

Kennst du die Rangungleichung ?  Dann ist es einfach

rang(A*B) ≤ min ( rang(A) , rang(B) ) Da A und beide höchstens den rang 3 haben können

( Dieeine hat nur 3 Zeilen und die andere nur 3 Spalten)


kann also A*B höchstens den rang 3 haben.  Eine invertierbare

4x4 Matrix muss aber rang=4 haben.

Beantwortet 3 Jan von mathef Experte CXIII

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