Wenn f, mit..., stetig in 0 ist, ist f stetig auf ganz R. Komme beim Beweis nicht weiter,

Question

Sei f: R->R eine Funktion mit der Eigenschaft f(x+y)=f(x) +f(y) für alle x,y∈ℝ.

Z.z.: Wenn f stetig in 0 ist, dann ist f stetig auf ganz ℝ.

Widerspruchsbeweis:

Annahme: f ist stetig in 0, aber unstetig auf ganz ℝ

Beweis:

Wenn f stetig in 0 ist, dann existiert  ein δ* für alle ε, sodass für |x+y-(0+0)|=|x+y|<δ* bzw. |x|<δ*/2 und |y|<δ*/2 folgt:

|f(x+y)-f(0+0)|=|f(x)+f(y)-2*f(0)|<ε.

Da f unstetig sein soll, gibt es für jedes beliebige δ ein ε, sodass aus |x+y-(x₀+y₀)|<δ bzw. |x-x₀|<δ/2 und |y-y₀|<δ/2 folgt

|f(x+y)-f(x₀+y₀)|=|f(x)+f(y)-f(x₀)+f(y₀)|≥ε. Unter Verwendung der Dreiecksgleichung erhält man: |x+y-(x₀+y₀)|≤|x+y|+|-(x₀+y₀)|<δ*+|x₀+y₀|, vlt. kann man damit irgendetwas anfangen. Ich muss ja irgendwie zeigen, dass es ein solches Epsilon nicht geben kann.

Würde mich über eure Hilfe sehr freuen :)

Answer 1

Annahme: f ist stetig in 0, aber unstetig auf ganz ℝ

Nein, das Gegenteil von stetig auf ganz ℝ  ist:

Es gibt eine Stelle a, an der f nicht stetig ist.

Ich würde aber eher direkt beweisen:Erst mal zeigen:  Wenn f(x+y) = f(x) + f(y) für alle x,y gilt, dann

kannst du auch zeigen:(*)    f( x - y ) = = f(x) -  f(y)   für alle x,y aus  ℝ .   Und f(0) = 0 .

Und wenn f stetig bei 0 ist, heißt das:

Zu jedem eps>0 gibt es ein δ mit   [ x-0| < δ   =>    | f(x) - f(0) | < eps  
                                      also    [ x| < δ   =>    | f(x)  | < eps     #

Sei nun a aus  ℝ .  Zeige, dass f stetig bei a ist:


Sei eps > 0 und x  gemäß # so gewählt, dass  | x-a| <   δ 


Dann gilt nach #    | f(x-a) | < eps 

   also  nach  *      | f(x) - f(a) |  < eps .          q.e.d.

Comments

Hallo Mathef, bei deinem Beweis gibt es glaube ich einen Haken und zwar gehst du davon aus das f(0) =0 ist, dass muss aber nicht der Fall sein oder? Somit wäre der Beweis auch nicht richtig, beziehungsweise, würde er nur für den Fall f(0)= 0 gelten.

Stetig in 0, bedeutet steig an der Stelle null, so wie ich es verstanden habe.

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Sry, ich lag falsch.

Kannst du mir bitte kurz eine Frage beantworten, zur Stelle: "Sei eps > 0 und x  gemäß # so gewählt, dass  | x-a| <   δ . Dann gilt nach #    |f(x-a) | < eps    "

Das man davon ausgehen kann, dass |x-a|<δ verstehe ich(vermutlich), aber warum kannst du daraus schließen das |f(x-a) | < eps , mir erschließt sich nicht, wie du dafür das  |x| < δ   =>    | f(x)  | < eps verwendet hast?

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Das man davon ausgehen kann, dass |x-a|<δ verstehe ich(vermutlich), aber warum kannst du daraus schließen das |f(x-a) | < eps , mir erschließt sich nicht, wie du dafür das  |x| < δ   =>    | f(x)  | < eps verwendet hast?

Das    |x| < δ   =>    | f(x)  | < eps     kannst du ja so
formulieren:   Wenn "etwas" betragsmäßig kleiner als δ ist,
dann ist der Funktionswert von diesem "etwas" betragsmäßig
kleiner als eps.

Bei dem betrachteten Fall ist das "etwas" eben  x-a  .