Extremalprobleme, Rechtecksmaximalgröße Stadion mit Umfang 400m.

Question

Das abgebildete Stadion hat die Form eines Rechtecks mit zwei angesetzten Halbkreisen. Der Umfang beträgt 400m. Welche Maße muss das Rechteck erhalten, wenn seine Fläche maximal werden soll?

Bitte den Rechenweg ausführlich schreiben.

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Vgl. auch "ähnliche Fragen" z.B. https://www.mathelounge.de/39800/stadion-umfang-kurvenradius-berechnen-spielfeld-maximieren

Answer 1

Länge und Breite des Rechtecks sind in der Skizze mit x und y benannt. Es geht also um die größte Fläche (1) F=x·y. Aus dieser Gleichung muss x oder y eliminiert werden, damit es eine Funktionsgleichung der anderen Variablen wird. Die Angabe der Länge 400m liefert uns 400=2x+2π·y/2 und nach y aufgelöst (2) y=(400-2x)/π. Gleichung (2) in (1) eingesetzt ergibt F=x·(400-2x)/π oder F= f(x)=1/π·(400x-2x²). Die maximale Rechtecksfläche erhält man als Nullstelle der ersten Ableitung von f(x).

Comments

Halo!

Bei "mir" :-), steht diese Aufgabe im Buch, lange vor Ableitungen, im Kapitel rund um Parabeln und quadratischer Ergänzung.

Sieht jemand eine Möglichkeit, diese Aufgabe auch ohne Kenntnisse von Ableitungen zu lösen?

Grüße, Martin

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Dann berechnest du den Scheitelpunkt der Parabel auf eine dir bekannte Weise.

[spoiler]

 f(x)=1/π·(400x-2x^{2}) = x·(400-2x)/π

hat die Nullstellen x1 = 0, x2 = 200 .

Aus Symmetriegründen (Parabel ! ) liegt der Scheitelpunkt in der Mitte zwischen den beiden Nullstellen.

Maximalstelle

x_max = (x1 + x2)/2 = 100

Die Strecke x misst 100 Meter.

Dazu nun die maximale Rechtecksfläche (falls verlangt) y_max =  100·(400 - 2 *100)/π