Sei ψ : [a, b] × [c, d] → R : (x, t) → ψ(x, t) eine Abbildung mit den folgenden Eigenschaften:
(i) für jedes s ∈ [c, d] ist ψ(., s) ∈ R([a, b]);
(ii) ∂/∂t ψ ist gleichmäßig stetig in (x,s) für alle (x,s) ∈ [a,b] × [c,d].
Wir betrachten nun die Funktion F : [c, d] → R : t → Integral von a bis b
(a) Beweisen Sie mit Hilfe des Mittelwertsatzes, dass der Grenzwert
lims→u (ψ(x,s)−ψ(x,u)) / (s-u) = ∂/∂t ψ(x,u) gleichmäßig in x existiert.
(b) F′(s) existiert und hat die Form F′(s) = Integral von a bis b ψ(x, s) dx
Hinweis: Nutzen Sie den Satz über die Integration gleichmäßig konvergenter Funktionenfolgen: Sei durch fn : [a, b] → R eine gleichmäßig gegen eine Funktion f : [a, b] → R konvergierende Funktionenfolge gegeben und gelte fn ∈ R([a, b]), so ist auch integrierbar und Integral von a bis b fn dx konvergiert gleichmäßig gegen Integral von a bis f dx.
