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Am Dreieck PQR werden die Seiten jeweils verdoppelt so dass sie Punkte X , Y und Z entstehen . Verbindet man diese Punkte , so erhält man das Dreieck XYZ .

Wenn der Flächeninhalt des neuen Dreiecks XYZ genau 1176 Flächeneinheiten beträgt , wie groß war dann der Flächeninhalt des ursprünglichen Dreiecks PQR ?

Tipp : Verbinde die neuen Eckpunkte mit den alten ! Rechnung erwünscht.

Bräuchte den Rechenweg zum vergleichen .

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Das große Dreieck lässt sich in die sieben Dreiecke PRQ, PQZ, QXZ, PYR, ZYP, RYX und QRX unterteilen.

Bild Mathematik

alle diese sieben Dreiecke haben den gleichen Flächeninhalt. PRQ (das ursprüngliche Dreieck) und ZPQ (grün) sind gleich, da ihre Grundseiten PR und ZP gleich lang sind und sie eine gemeinsame Spitze Q haben. Das Dreieck PQZ (grün) hat die gleiche Fläche wie QXZ (gelb), da wieder die Grundseiten PQ und QX gleich lang sind und die Spitze Z ist gemeinsam. Für die anderen Dreiecke lässt sich das ebenso zeigen. D.h. der Flächeinhalt von PRQ war 1176:7=168.

Das ganze kann man auch vektoriell zeigen. Sei \(PR=\vec{a}\) und \(PQ=\vec{b}\) so ist   $$ZY=3 \vec{a} - \vec{b}$$ und $$ZX=\vec{a} + 2\vec{b}$$ Die Fläche von PRQ ist \(F=\frac{1}{2}(\vec{a} \times \vec{b})\). Die Fläche von ZYX ist dann   $$F_7=\frac{1}{2}(3 \vec{a} - \vec{b}) \times (\vec{a} + 2\vec{b})= \frac{1}{2}(3 \vec{a}\times \vec{a} + 6\vec{a}\times \vec{b} - \vec{b} \times \vec{a} - 2\vec{b} \times \vec{b})=\frac{1}{2}(7\vec{a}\times \vec{b})=7 \cdot F$$

von 19 k
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Nehmen wir einmal an das Dreieck wäre anstelle mit 3
Seiten, beschrieben mit 1 Seite und der Höhe darauf
( kann über die 3 Seiten berechnet werden ).

A ( alt ) = c * h / 2

Eine Verdopplung der Seitenlänge hätte auch eine
Verdopplung von c und h zur Folge.

A ( neu ) = 2 * c * 2 * h / 2
A ( neu ) = 4 * c * h / 2 = 4 * A ( alt )

1176 / 4 = 294.5

mfg Gold-und-Silber-lieb-ich-sehr

von 2,5 k

Dein "hätte" und "wäre" ist insofern richtig als deine Lösung    A ( neu ) = 4 * A ( alt )    nichts mehr mit der Aufgabe zu tun hat.

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