Zeigen Sie, dass auch {A · b1 , A · b2 } eine Orthonormalbasis des ℝ2 ist..

Question

Ich sitze schon ewig an dieser Aufgabe und stehe auf dem Schlauch, ich komme einfach nicht auf einen Ansatz, wie ich das zeigen soll...

Aufgabe:

         Es sei A ∈ ℝ2x2  eine orthogonale Matrix und {b1,b2} eine Orthonormalbasis des R2. 

          Zeigen Sie, dass auch {A · b1 , A · b2 } eine Orthonormalbasis des R2 ist. 

Answer 1

Hi,

Orthogonalität

$$(1) \quad <Ab_1 , Ab_2> = <b_1 , A^TAb_2> =<b_1,b_2>=0$$

Normiertheit

$$(2) \quad <Ab_i,Ab_i> = <b_i,A^TAb_i> = <b_i,b_i>=1$$

Lineareunabhängigkeit

$$(3) \quad 0 = \lambda_1 A b_i + \lambda_1 A b_i = A ( \lambda_1 b_i + \lambda_1 b_i ) \Rightarrow \lambda_i = 0$$