Ich sitze schon ewig an dieser Aufgabe und stehe auf dem Schlauch, ich komme einfach nicht auf einen Ansatz, wie ich das zeigen soll...
Aufgabe:
Es sei A ∈ ℝ2x2 eine orthogonale Matrix und {b1,b2} eine Orthonormalbasis des R2.
Zeigen Sie, dass auch {A · b1 , A · b2 } eine Orthonormalbasis des R2 ist.
Hi,
Orthogonalität
$$ (1) \quad <Ab_1 , Ab_2> = <b_1 , A^TAb_2> =<b_1,b_2>=0 $$
Normiertheit
$$ (2) \quad <Ab_i,Ab_i> = <b_i,A^TAb_i> = <b_i,b_i>=1 $$
Lineareunabhängigkeit
$$ (3) \quad 0 = \lambda_1 A b_i + \lambda_1 A b_i = A ( \lambda_1 b_i + \lambda_1 b_i ) \Rightarrow \lambda_i = 0 $$
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