Gerade und Ebene bestimmen.

Question

Es sei E1 ={x∈R3|x1 −x2 +2x3 =4} eine Ebene in R3

und G1 ={x∈R3|x(Zeilenvektor)=((x1=4),(x2=0),(x3=0))+λ((x1=0),)x2=2),(x3=1)),λ∈R} eine Gerade, die in E1 enthalten ist.

(a) Bestimmen Sie eine Gerade G2, die orthogonal zu G1 ist und auch in E1 enthalten ist.

(b) Bestimmen Sie eine Ebene E2, deren Schnittmenge mit E1 die Gerade G1 ist.

(c) Bestimmen Sie die Schnittmenge zwischen E1 und {x ∈ R3|x1 = 0}.

Answer 1

Es sei E1 ={x∈R3|x1 −x2 +2x3 =4} eine Ebene in R3

und G1:   x=(4,0,0)+λ(0,2,1) eine Gerade, die in E1 enthalten ist.

(a) Bestimmen Sie eine Gerade G2, die orthogonal zu G1 ist und auch in E1 enthalten ist.

G2 braucht einen Richtungsvektor senkrecht zu (0,2,1) und zu (1;-1;2) das

wäre z.B.  ( 5   ; 1 ; -2 )  und Punkt (4 ; 0 ; 0 ) also

G2:  x=(4,0,0)+λ(5,1,-2)

(b) Bestimmen Sie eine Ebene E2, deren Schnittmenge mit E1 die Gerade G1 ist.


E2 muss also G1 enthalten und einen Richtungsvektor, der nicht senkrecht zu 

(1;-1;2) ist.  z.B. (1;0;1)  .  Dann ist ein Normalenvektor von E2 einer der


senkrecht zu  (1;0;1)  und zu (0,2,1) ist, also etwa  ( -2 , -1   , 2)


und wegen (4,0,0) aus E2 ist also


E2:         -2x1  -  x2  + 2x3  =  -8

(c) Bestimmen Sie die Schnittmenge zwischen E1 und {x ∈ R3|x1 = 0}.


Dazu kannst du  (0,x2,x3) einsetzen und bekommst aus

x1 −x2 +2x3 =4    dann  -x2  + 2x3 = 4  bzw  x2 =  2x3 - 4

also sehen die gemeinsamen Punkte  mit x3 = t so aus


Vektor x =  (  0  ,    2t - 4    ;   t )  =   ( 0 , -4 , 0 ) + t * ( 0 ,  2  ,  1 ) 

Das ist die Geradengleichung.