Lineare Abbildung und Matrix

Question

Seien V,W zwei Vektorräume über K. B₁ = (x₁, ..., x_n) eine geordnete Basis von V, B₂ = (y₁, ..., y_m) eine geordnete Basis von W.

(a) Zeige: ∀ 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n gibt es genau eine lineare Abbildung von V -> W (wir nennen sie T_ij) mit:$$ { T }_{ ij }\left( { x }_{ 1 } \right) ={ 0 }\\ { T }_{ ij }\left( { x }_{ 2 } \right) ={ 0 }\\ \quad \quad \vdots \\ { T }_{ ij }\left( { x }_{ j-1 } \right) ={ 0 }\\ { T }_{ ij }\left( { x }_{ j } \right) ={ { y }_{ j } }\\ { T }_{ ij }\left( { x }_{ j+1 } \right) ={ 0 }\\ \quad \quad \vdots \\ { T }_{ ij }\left( { x }_{ n } \right) ={ 0 } $$(b) Sei T: V -> W linear und$$ A\quad =\quad \begin{pmatrix} { a }_{ 1\quad 1 } & \cdots  & { a }_{ 1\quad n } \\ \vdots  & \ddots  & \vdots  \\ { a }_{ m\quad 1 } & \cdots  & { a }_{ m\quad n } \end{pmatrix} $$  die Matrix von T bezüglich B₁, B₂Zeige: $$ T\quad =\quad \sum _{ i,j = 1 }^{ m, n }{ { a }_{ i j  } { T }_{ i j } }  $$ Bei (a) muss ich ja zeigen dass diese Abbildung T existiert und das sie eindeutig ist. Aber ich weiß nicht wie ich das machen soll.Bei (b) weiß ich nicht wie ich das zeigen könnte.Danke für eure Hilfe im Voraus!!