Lineare Abbildung einer Matrix; Surjektiv/Injektiv?

Question

Hi!

Ich habe folgende Aufgabe:

Sei A* : ℝ³ → ℝ³ die lineare Abbildung definiert durch
A*(x) = A*((x₁, x₂, x₃)) = (4x₁ − 2x₂ + 2x₃, 22x₁ − 11x₂ + 17x₃, 10x₁ − 5x₂ + 7x₃)

( 1 ) Finden Sie die Matrix A ∈ ℝ^3x3 , die die Abbildung A* als Matrixmultiplikation realisiert,
d.h. die Matrix A, für die gilt A*(x) = A · x ∀x ∈ ℝ³.

Die Matrix sollte glaube ich lauten:

A * x ⇒

|4   -2   2   |     | x₁ |

|22 -11 17|  *  | x₂ |

|10 -5    7 |     | x₃ |

Jetzt kommen wir aber zu Teilaufgabe 2 und 3:

( 2 ) Ist A injektiv?
( 3 ) Ist A surjektiv?

Ich weiß, dass:
A*: ℝ³ → ℝ³
mit der Vorschrift:
(x₁, x₂, x₃) ↦ (4x₁ − 2x₂ + 2x₃, 22x₁ − 11x₂ + 17x₃, 10x₁ − 5x₂ + 7x₃)
und allgemein bedeutet Injektiv ja:
Aus f(x₁) = f(x₂) muss folgen x₁ = x₂
und für Surjektiv:
∀y ∈ Y ∃x ∈ X: f(x) = y
Leider fehlt mir jetzt irgendwie der Zusammenhang. Ich komme da nicht auf die Lösung für einen allgemeinen Beweis. Könnte mir jemand einen Tipp geben?

Gruß und Danke.

Answer 1

versuche mal das Gleichungssystem

A * x = =-Vektor zu lösen.

Wenn es außer x=0-Vektor keine

Lösung gibt, ist es injektiv.

Comments

Das hat mir weitergeholfen. Ich hatte die gleiche Vermutung, war mir aber unsicher, ob das der richtige Weg ist. :-)