Zwei rekursiv definierte Folgen: Zeige, dass beide gegen den selben Grenzwert konvergieren

Question

für die folgende Aufgabe fehlt mir leider Verständnis.

Kann mir wer aufklären, wie vorzugehen ist?

MfG

Answer 1

Für die Konvergenz kann man wohl zeigen, dass beides Cauchy-Folgen sind.

und dann  wenn an gegen a und bn gegen b geht, liefern die Rekursionsformeln


a = 1/2 * ( a+b)  und  b = √ (a*b )

2a = a + b   und  b² = a*b

a = b         und  (falls b ungleich 0)  b=a .

Comments

vielleicht etwas verwirrend weil da steht a und b sind postitive zahlen mit a < b habe ich es einfach nochmal ausgeschrieben:

$$lim\quad { a }_{ n+1 }\quad =\quad lim\quad { a }_{ n }\\ lim\quad \frac { 1 }{ 2 } \left( { a }_{ n }\quad +\quad { b }_{ n } \right) \quad =\quad lim\quad { a }_{ n }\\ lim\quad \left( { a }_{ n }\quad +\quad { b }_{ n } \right) \quad =\quad 2\quad lim\quad { a }_{ n }\\ lim\quad { a }_{ n }\quad +\quad lim\quad { b }_{ n }\quad =\quad 2\quad lim\quad { a }_{ n }\\ lim\quad { b }_{ n } \quad =\quad lim\quad { a }_{ n }\\ \\ \\$$

$$lim\quad { b }_{ n+1 }\quad =\quad lim\quad { b }_{ n }\\ lim\quad \sqrt { { a }_{ n }{ b }_{ n } } \quad =\quad lim\quad { b }_{ n }\quad \\ lim\quad { a }_{ n }{ b }_{ n }\quad =\quad lim\quad { { b }_{ n } }*\quad lim\quad { { b }_{ n } }\quad \\ lim\quad { a }_{ n }\quad =\quad \frac { (lim\quad { { b }_{ n } })²\quad }{ lim\quad { { b }_{ n } }\quad } \quad =\quad lim\quad { { b }_{ n } }\quad \quad (lim\quad { b }_{ n }\neq 0)$$