Umformung nachvollziehen: ∑ (2i-1) zu (n^2 -2n +1)

Question

Wäre nett wenn mir jemand erklären könnte wie hier umgeformt wurde:
$$\sum _{ i=1 }^{ n-1 }{ (2i-1)\quad \overset { ? }{ = }  } ({ n }^{ 2 }-2n+1)$$

Answer 1

"arithmetische Reihe" google das mal.

Da gibt es eine Formel für Partialsummen.

Alternative: Suche nach "Summenformel für ungerade Zahlen"

übrigens (n^2 - 2n + 1) = (n-1)^2

Hier dasselbe mit einer andern oberen Grenze

https://www.mathelounge.de/387993/beweise-mit-vollstandiger-induktion-1-3-5-2n-1-n-1-2 

Ebenfalls hier: https://www.mathelounge.de/416527/vollstandige-induktion-ungeraden-zahlen-quadratzahl-beweisen

https://de.wikipedia.org/wiki/Gau%C3%9Fsche_Summenformel#Geometrische_Veranschaulichung

Answer 2

Links steht die Summe der ersten n-1 ungeraden Zahlen. Von dieser weiß man (oder kann es beweisen), dass sie (n-1)² ist. Wegen (n-1)²=n²-2n+1.stimmt die Gleichung. Den Beweis führt man nicht durch Umformung, sondern durch vollständige Induktion.