a) wegen dim(V)=1 gibt es eine Basis B von V mit einem Element , also B = { b} .
Dann gibt es für jedes v aus V ein k aus K mit v = k*b .
Und für jedes f aus HomK (V,W) gilt dann f(v) = f(k*b) = k*f(b) . #
Dann ist L : HomK (V,W) ---> W ein Isomorphismus
f → f(b)
Denn L ist sicher linear L(f+g) = L(f) + L(g) rechnest du einfach nach
ebenso L (x*f) = x*L(f) für alle x aus K und f,g aus HomK (V,W) L Injektiv, denn wenn f ≠ g dann ist f(b) ≠ g(b) , weil wegen # sonst
f (v) = g(v) für alle v aus V wäre, also f=g Widerspruch.
Und L ist surjektiv, denn wenn w aus W ist, dann betrachte die
lin. Abb. f : v ----> k*w falls v=k*b.
Dann ist L(f) = w.
