zerlege den Viertelzylinder in 5 Teilflächen und berechne dann jeweils den Fluss:
1) Deckfläche
2) Grundfläche
3) Mantel
4) ,5) die inneren Begrenzungsebenen
Deck- und Grundfläche:
$$ { F }_{ 1 }=\int\vec{ K }d\vec{ A }=\int_{0}^{\pi/2}d\phi\int_{0}^{4}rdr\begin{pmatrix} rcos(\phi)\\rsin(\phi)\\5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix}\\=\frac { 5\pi }{ 4 }*16=20\pi\\{ F }_{ 2 }=\int\vec{ K }d\vec{ A }=\int_{0}^{\pi/2}d\phi\int_{0}^{4}rdr\begin{pmatrix} rcos(\phi)\\rsin(\phi)\\0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix}=0 $$
Mantel:
-x=0 Ebene (mit kartesischen Koordinaten):
$$ { F }_{ 4 }=\int\vec{ K }d\vec{ A }=\int\begin{pmatrix} 0\\y\\z \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}=0$$
Dasselbe für y=0
Also Gesamtfluss=60π
Wenn man da Volumenintegral berechnet, erhält man:
$$ F=\int div\vec{ K }dV=\int_{0}^{\pi/2}d\phi\int_{0}^{5}dz\int_{0}^{4}rdr*3=60\pi $$
Das unterscheidet sich von der Oberfläche eines Viertelzylinders (48π), weil er nicht symmetrisch zum Ursprung liegt.
