Zeigen, dass ein Polynom eindeutig ist. D.h. Zeige: Es gibt genau ein Polynom f mit deg(f) ≤n-1 und f(x_i) = y_i

Question

Sei n ∈ ℕ und x_i, y_i ∈ K(Körper) und seien x_1,...x_n paarweise verschieden. Zeige: Es gibt genau ein Polynom f mit deg(f) ≤n-1  und f(x_i) = y_i

Habe leider keine Ahnung wie ich das zeigen soll. Annehmen das zwei polynome existieren auf die, die Annahme zutrifft? Aber wie weiter?

Comments

Nullstellen des Differenzpolynoms zaehlen. Zur Existenz selber musst Du Dich auch aeussern.

Answer 1

Existenz bekommst du z.B. mit

Lagrange-Interpolationspolynom  siehe

https://de.wikipedia.org/wiki/Polynominterpolation#Lagrangesche_InterpolationsformelWenn du zwei hast etwa f und g dann betrachte  die Differenz:

Das ist Polynom höchstens (n-1)  - ten Grades   mit n Nullstellen,

also gleich dem 0-Polynom.