Zeige dass ein beliebiges Polynom f∈F2 ⌊x⌉ mit deg(f)=4 und eine Nullstelle in K auch eine Nullstelle in F2 hat.

Question

Aufgabe: Sei K ein Körper mit 2¹⁵ =32768 Elementen

Zeige dass ein beliebiges Polynom f∈F₂ ⌊x⌉ mit deg(f)=4 und eine Nullstelle in K auch eine Nullstelle in F₂ hat.

Problem/Ansatz:

Ich habe mir erst einmal ein beliebiges Polynom mit Grad 4 geschnappt: f= ax⁴ +bx³ +cx² +dx +e

Eine Nullstelle in K bedeutet es gibt ein Element k ∈ K sodass f(k)=0

In F₂ habe ich nur die Elemente 0,1 sodass entweder f(0)=0 oder f(1) =0 sein kann

Leider verstehe ich nicht wie man die Nullstelleneigenschaft von f in K auf den "kleineren" Körper überträgt

Bin für jeden Tipp dankbar

Answer 1

Der Körpergrad von $K$ über $F_2$ ist

$[K:F_2]=15$. Jeder Teilkörper hat daher den Körpergrad

1,3,5 oder 15.

Ist nun $f$ irrduzibel über $F_2$ und $\alpha$ eine

Nullstelle von $f$ in $K$, so gilt $[F_2(\alpha):F_2]=4$.

Dies ist nicht 1,3,5 oder 15. Folglich muss $f$ reduzibel sein,

etwa $f=gh$ mit $\deg(g)=1$ und $\deg(h)=3$ oder

$\deg(g)=\deg(h)=2$.

Im ersten Fall existiert natürlich eine Nullstelle von $g$

in $F_2$. Im zweiten Falle argumentiere so:

Ist $\alpha$ eine Nullstelle von $f$ in $K$,

so gilt o.B.d.A. $g(\alpha)=0$, d.h.

$[F_2(\alpha):F_2]$=1,3,5 oder 15, andererseits

=1 oder =2, mithin =1 und folglich $\alpha\in F_2$.

Comments

Ah okay du argumentierst über den Körpergrad.

Wieso ist der Körpergrad von ⌈F₂(α):F₂  ⌉ =4 ? und wie hängt dies mit der Reduzibilität von f zusammen? Außerdem verstehe ich den letzten Schritt noch nicht so ganz. Warum ist nun der Körpergrad  ⌈F2(α):F2  ⌉ = 1,3,5 oder 15 ? und wieso folgerst du zum Schluss dass er 1 ist? vielleicht kannst du mir diese Schritte genauer erklären

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Wieso ist der Körpergrad von ⌈F2(α):F2  ⌉ =4 ?

Wenn $f$ irreduzibel ist, dann ist der Grad der einfachen
Körpererweiterung $F_2(\alpha)$ gleich dem Grad des
Minimalpolynoms, also dem von $f$.

Warum ist nun der Körpergrad ⌈F2(α):F2  ⌉ = 1,3,5 oder 15 ?

Wenn $K_1\subset K_2\subset K_3$ endliche Körpererweiterungen
sind, so gilt $[K_3:K_1]=[K_3:K_2]\cdot [K_2:K_1]$